Анықтама. Егер группасының бос емес ішкі жиыны А үшін мынадай шарттар орындалса,
онда А-ны -ның ішкі группасы деп атаймыз және деп белгілейміз. Қысқаша:
&& [2].
Егер G группасы өзінің элементтерінің біреуінің дәрежесінен тұратын болса, яғни, өзінің циклдық ішкі группасының біреуімен сәйкес болса, онда G группасы циклдық группа деп аталады. Бұл жағдайда элементі G группасының құраушы элементі деп аталады. Барлық циклдық группа, сірә, абельдік болып келеді [3].
теңдеуінің түбірлер арасындағы барлық мүмкін болатын қатынастарын бұзбайтын алмастырулар тобы Галуа топтары немесе осы теңдеудің тобы деп аталады.
3 дәріс. Бүтін сандар сақинасындағы бөлінгіштік. Санның бүтін бөлігі және бөлшек бөлігі, қалдықпен бөлу теоремасы. Негізгі түсініктер: ортақ бөлгіш, ЕҮОБ, Евклид алгоритмі, жай сандар өзара жай сандар, ЕКОЕ, арифметиканың негізгі теоремасы.
Анықтамалар. 1) Бүтін саны бүтін сандарының ортақ бөлгіші деп аталады, егер осы санның әрқайсысы -ға бөлінсе.
2) саны сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп аталады, егер:
а) саны осы сандардың ортақ бөлгіші
б) сандарының кез-келген ортақ бөлгішіне саны бөлінсе.
1 теорема. сандарының ЕҮОБ таңбаға дейінгі дәлдікпен бір мәнді анықталады.
Ескерту. Әрқашанда сандарының ЕҮОБ-ның оң мәнін ғана анализ және оны арқылы белгілейді.
Мысал. ЕҮОБ(135,-180)=45 екенін көрсетейік. Шынында, 135 санының оң бөлгіштер жиыны , ал -180 санының оң бөлгіштер жиыны
. Сонда . Осыдан, 45 саны 135 пен -180 сандарының ЕҮОБ екені шығады.
Евклид алгоритмі. Жоғарғы ЕҮОБ анықтамасынан кез келген ақырлы бүтін сандардың ЕҮОБ табылатыны шықпайды. Бұл сұраққа Евклид алгоритмі көмегімен жауап беруге болады. Ол төменгі екі леммаға көзделген:
1-Лемма. Егер , онда
2-Лемма. Егер , онда
2-теорема. Егер
Онда
Мысал. (2585,7975)=55
ЕҮОБ қасиеттері 3-теорема. Егер және онда .
4-теорема. бүтін сандарының шамасы бойынша ең үлкен оң ортақ бөлгіші осы сандардың ЕҮОБ болады.
5-теорема.
6-теорема. Егер , онда
Анықтама. теңдігі ЕҮОБ-тің а мен b сандарының сызықтық комбинациясы ретінде көрсетілуі деп аталады.
Мысал. ЕҮОБ(90,35)-тің сызықтық көрсетілуі : 5=2*90+(-5)*35 болып табылады.
