Д. И. Кенжалиев, Р. Мырзакулов Статистикалық физика, термодинамика және физикалық кинетика негіздері «Физика (білімтану)»
жүктеу/скачать 0,7 Mb.
|
statistikalik-fizika 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Лиувилль теоремасы
| §5. Лиувилль теоремасы.
Статистикалық үлестрімдік функциясының формуласын анықтау үшін бірнеше ереже көмек етеді. Жалпы алғанда, статистикалық физиканың негізгі заңдылықтары жүйе бөлшектердің нақты қасиеттеріне, олардың өзара әсерлесу түріне, қозғалысының классикалық немесе кванттық сипатта болуына тәуелді емес. Бұның себебі көп бөлшектен құрылған жүйелерде ерекше сипатты заңдылықтар болады. Бұл заңдылықтар статистикалық заңдылықтар болып табылады. Осы заңдылықтарды зерттеу үшін үлестірімдік функциясын зерттеу керек. Бұл қандай функция? Осыған байланысты айтатын бірнеше ой бар. Ансамбль құрамындағы мүшелер бір – біріне тең. Әрбір жүйенің бейнелеуіш нүктесі фазалық траекториясымен қозғалады делік. Яғни жүйелердің күйлерінің өзгерістері фазалық кеңістегі бейнелеуіш нүктелердің механикалық қозғалыстарына ұқсайды. Бұлардың қозғалыстарының бастапқы жағдайлары әр түрлі болып келеді. Мысалы, жүйе үлкен жүйенің бір бөлігі болсын, уақыт өткен сайын жүйенің күйлерін фазалық кеңістікте бейнелеуіш нүкте арқылы белгілеп тұрайық, осы нүктелердің орналасу тығыздығы -ға пропорционал болады. 2 осы нүктелер жиыны- статистикалық ансамбль мүшелерінің күйлерін анықтайды деп те түсінуге болады. Теңбе – тең жүйелер үшін статистикалық үлестірімдік функциясы уақытқа тәуелді емес, яғни бейнелеуіш нүктелердің тығыздығы уақыт өткен сайын өзгермейді. Фазалық бейнелеуіш нүктелер қозғалысын 2f өлшемді кеңістікте газ молекулаларының қозғалысы түрінде қарастыруға болады. Оған үзіліссіздік теңдеуін, яғни бөлшектің санының сақталу заңын қолдансақ: (5.1) Үш өлшемді кеңістікте: болғандықтан, бұл теңдіктің 2f - өлшемді кеңістікте фазалық нүктелер газы үшін үзіліссіздік заңының жазылуы: , немесе (5.2) Жоғарыда айтқандай: . Сонымен осыдан шығатыны: бұдан: (5.3) Гамильтон теңдеуін пайдаланайық: ; Сонымен және қорытып келгенде (5.4) Пуассон жақшасының анықтамасы бойынша (5.5) Пуассон жақшасы нөлге тең болса, яғни {Н, ρ}=0 болса, онда ρ қозғалыс кезінде өзгермейді, яғни ол қозғалыс интегралы болып табылады. Сонымен ρ бейнелеуіш нүктелердің фазалық кеңістіктегі траекториялардың бойымен орын ауыстырғанда статистикалық үлестрімдік функциясы өзгермейтіндігі көрінеді. Мұны Лиувилль теоремасы деп атайды. Басқаша айтқанда, фазалық нүктелер ағынымен бірге қозғалғанда ағынның тығыздығы өзгермейді. Сонымен Лиувилль теоремасына сәйкес қозғалыс кезінде бейнелеуіш нүктелерінің тығыздығы өзгермейді. Лиувилль теоремасының маңызды салдарын қорытайық. Айталық, t1-мезетінде dГ1 фазалық көлем элементінде орналасқан dn фазалық нүктелерді бөліп алайық. Уақыт өткен кезде бұл нүктелердің барлығы көшіп dГ2 фазалық көлем элементіне ауысады; Онда фазалық тығыздықтың анықтамасы бойынша: Лиувилль теоремасына сәйкес ρ1=ρ2, олай болса, . Яғни фазалық көлемнің пішіні өзгергенмен, мөлшері өзгермеуі тиіс. Сонымен фазалық нүктелер жиыны бір облыстан екіншісіне көшкенде, олардың орналасатын фазалық көлемі өзгермейді. Лиувилль теоремасы Гамильтон теңдеулерінің салдары болып табылады. Сондықтан бұл теорема үлестрімдік функциясының сыртқы түріне шектеу салады. Ең алдымен ρ(q,p)-нің өзгермейтіндігі - қозғалыс интегралы болатындығын білдіреді. Бұл мүмкін болу үшін ρ шамасы механикалық қозғалыс интегралдарына ғана тәуелді болатыны анық. Сонымен, жоғарыда көрсеткеніміздей: екі қорытынды шығады. Фазалық нүктелер газы сығылғыш емес. Үлестірімдік функциясы- қозғалыс интегралы болып табылады. Статистикалық үлестрімдік функциясы аддитивті сақталу заңдарымен байланысты. Жүйе екі не одан да көп квазитәуелсіз бөліктерден құралатын болса, - мультипликативті шама; онда үлестрімдік функциясының логарифмі: - аддитивті қозғалыс интегралы болып табылады. Ол қозғалыс интегралдары болып табылатын басқа параметрлерге тәуелді. Классикалық физикада бұндай интегралдың саны жетеу: Е- энергия интегралы, -импульстің 3 құраушысы: , -импульс моментінің үш құраушысы: . Соңғы екі векторлық шама - жүйенің тұтастай қозғалысын сипаттайды, ал Е-тек ішкі қозғалысқа қатысты. Статистикалық физикада жүйенің ішкі қозғалысы ғана зерттеледі. Сондықтан үлестрімдік функциясы тек жүйе энергиясына тәуелді болуы мүмкін: . Сонымен жүйенің микрокүйлерінің ықтималдығы оның энергиясымен анықталады. Кванттық жүйе жағдайында да осындай болатынына көз жеткізуге болады- жүйе микрокүйлерінің ықтималдығы: Сонымен статистикалық физиканың механика заңдарынының көмегімен алынатын бар информация осы. Үлестрімдік функциясының түрін дәлірек анықтау үшін механикаға қатыссыз қосымша болжамдар керек. жүктеу/скачать 0,7 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|