Теорема.Кез келген п өлшемді евклид Rкеңістігінде п вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.
Дәлелдеуі.векторлар жүйесі евклид Rкеңістігінің базисі болсын делік. Сондықтан, 4.7-теоремабойынша векторларына сызықты тәуелді ортогонал векторлар жүйесін құрамыз: Енді 4.8-теореманы пайдаланып, векторларына сызықты тәуелді , ортонормалданған вектор жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 4.6-теорема бойынша сызықты тәуелсіз, яғни евклид Rкеңістігінің ортонормалды базисі. Теорема дәлелденді.
векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің базисі болсын делік. 
ортогонал векторлар жүйесін құрамыз: 
Енді 4.8-теореманы 
, ортонормалданған вектор жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 4.6-теорема