- Орындаған: Нұрадынова Д.Оралбай.П.Алмрадов Д
ДӘРІС ЖОСПАРЫ: - Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Жалпы және дербес шешімдер.
- Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі.
- Бір текті дифференциалдық теңдеу.
- Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Лагранж әдісі. Бернулли әдісі.
- Медициналық – биологиялық есептерге дифференциалдық теңдеулер құру.
- Дифференциалдық теңдеу деп x тәуелсіз айнымалыны, y ізделінді функцияны және оның әртүрлі ретті туындыларын байланыстыратын өрнекті айтады.
- Дифференциалдық теңдеудің құрамына кіретін туындылардың ең жоғары реті сол теңдеудің реті деп аталады.
- Егер y ізделінді функциясы бір айнымалыға тәуелді болса, онда д.т. қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.
N-ШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР : - Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп сол теңдеуге қойғанда оны теңбе-теңдікке айналдыратын y=y(x) функциясын айтады.
- Дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебі берілген дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі деп аталады.
- Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі интегралдық қисық деп аталады.
- y=(x,C1,..,Cn), - жалпы шешім,
- мұндағы C1,..,Cn кез келген тұрақты сандар.
- C1,..,Cn нақты бір сандық мәндеріндегі шешім дербес шешім деп аталады.
1-ШІ РЕТТІ ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ: - F(x,y,y)=0
- х – тәуелсіз айнымалы; у - ізделінді функция; у - функция туындысы.
-
- y=f (x,y)
- туындыға қатысты шешілетін бірінші ретті д.т.
АЙНЫМАЛЫЛАРЫ АЖЫРАТЫЛАТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР - немесе
- мұндағы f (x), M(x),P(x) – х айнымалысының қандай да бір функциясы;
- g(y), N(y), Q(y) - у айнымалысының функциясы.
ШЕШУ ЖОЛЫ: КОШИ ЕСЕБІ -
- бастапқы шартын қанағаттандыратын у' = f (x,у) теңдеуінің дербес шешімін табу есебі Коши есебі деп аталады.
Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу - Анықтама. Егер х және у айнымалылары бойынша нол өлшемдібіртекті функция болатын болса, онда бірінші ретті дифференциалдық теңдеу
- біртекті теңдеу деп аталады.
- Біртекті теңдеудің шешуі. Шарт бойынша
- Онда теңдеу төмендегі түрге ие болады:
-
Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу - немесе алмастыруын жасаймыз.
- Соңғы теңдікті дифференциалдап, табатынымыз:
-
- және -тің мәндерін берілген теңдеуге қойып,
- теңдеуіне ие боламыз. Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу:
-
- немесе
- Интегралдап табамыз:
- немесе
БІРІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ - у' + р(х) у = f (х), (1)
- мұндағы р(х) и f(х) — үздіксіз функциялар,
- Егер f (х) = 0, онда у'+р(х)у=0
- біртекті сызықты д.т.
- Егер f (х)0, онда у'+р(х)у=f (х),
- біртекті сызықты емес д.т.
СЫЗЫҚТЫ БІРТЕКТІ Д.Т. ШЕШУ ӘДІСІ - у'+р(х) у = 0
- у'= - р(х) у
БІРТЕКТІ СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС Д.Т. ШЕШУ ӘДІСТЕРІ ТҰРАҚТЫНЫ ВАРИАЦИЯЛАУ ӘДІСІ - 1. С.б.емес д.т. жалпы шешімін адымдап табу әдісі.
- 2. Жалпы шешімнің формуласы:
Тұрақтыны вариациялау әдісі - Бұл әдіс үш этаптан тұрады.
- А)
- сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз.
-
Тұрақтыны вариациялау әдісі - В) теңдеудің дербес шешімін табу үшін С х айнымалының функциясы болсын да, бұл жерде белгісіз функция. Яғни, С=С(х).
- С.б. емес д.т. шешімі мына түрде ізделінеді
- мұндағы және - белгісіз функциялар.
Бернулли теңдеуі -
- дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.
- Егер немесе болатын болса, онда сызықтық дифференциалдық
- теңдеуге ие боламыз. Сондықтан және жағдайда қарастырамыз.
- Бұл теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады және алмастыруы
- арқылы сызықтық дифференциалдық теңдеуге келтіріледі. Ол үшін теңдеудің екі
- жағын да бөліп: (1) теңдеуін аламыз.
-
- (2) алмастыруын жасаймыз.
- (2) теңдікті дифференциалдап, табамыз:
-
- (3)
- z және -тің мәндерін (1) теңдеуге қойып, төмендегі сызықтық
- дифференциалдық теңдеуге ие боламыз:
- (4)
- Бұл теңдеудің жалпы интегралын тауып және z-ті арқылы алмастырып,
- Бернулли теңдеуінің жалпы интегралын табамыз.
Достарыңызбен бөлісу: |
