Ә. Н. ШыНыбеков, Д. Ә. ШыНыбеков

61

3.55.  d xa yb zc

x x

x

y y y

   

= + + ⇔

− =

−

+

+

( ; ;

) ( ;

;

) ( ;

; )

4 0 7

2

3

0 3

( ;

;

)

(

;

2 5 2

2

z z z

x

z

=

+

 

=(

x+2z; 2x+3y+5z; –3x+y+2z) 

⇒

+

=

+

+

= ⇒ =

= −

=

−

+ +

= −









x

z

x

y

z

x

y

z

x y

z

2

4

2

3

5

0

2

3

1

3

2

7

,

,

,

,

⇒ =

−

+

d

a

b c





 

2

3

.

3.56. 2) 

p



=

+ + =

1 4 9

14;   q

x

x



=

+

+ =

+

1

4

5

2

2

;   

p

q

x





=

⇒

=

+

⇒

1

2

14

1

2

5

2

14·4=5+

х

2 

⇒ х

2

=51 ⇒

= ±

x

51.

3.59. Егер  a b c

  

, ,  векторлары компланар болса, олар сызықтық тәуелді, яғни 

біреуі қалған екеуі арқылы сызықты өрнектеледі. 

c

xa yb

x y

y

x y

x

x







=

+

⇒ − =

=

− = ⇒ = −

=

1

2 2

4

3

3

,

,

,

, y

= ⇒

2

 яғни a b c

  

, ,  — ком- 

планaр емес.

3.60. Бұл есепті кесіндінің ортасын табу формуласымен шешкен тиімді болып  

көрінгенімен,  оны  оқушылар  әлі  өтпеген.  Сондықтан  есепті  векторлар  көмегі- 

мен  AA

AB AC

1

1

2

 



 



 



=

+

(

)

 теңдігін қолданып шешу қажет.  AB

 



=(–1; –1;2), 

AC

 



 = 

=(0; –2; 2) болғандықтан,  AA

1

1

2

1 0

1 2 2 2

 



=

− + − −

+

(

)

=

;

;

−

−

(

)

0 5

1 5 2

, ;

, ;

.  Онда

  

AA

AA

1

1

0 25 2 25 4

6 5

=

=

+

+ =

 



,

,

, .  Ал 

BA

BC

1

1

2

=

.

BC

BC

BA

 



 



=

−

⇒

=

⇒

=

( ;

; )

.

1

1 0

2

2

2

1

Жауабы:  AA

BA

1

1

6 5

26

2

2

2

=

=

=

,

;

.

3.61. OA

 



= −

( ; ; ),

2 4 3  

OB

 



=

−

( ;

; ),

4

2 3  OC

 



= ( ; ; )

0 6 7  векторлары сызықтық тәуел- 

ді болса ғана 

А, В, С және О нүктелері бір жазықтық бойында жатады. Сонымен  

OC

x OA y OB

 



 



 



= ⋅

+ ⋅

  теңдігі  орындалатындай 

х,  у  сандарының  табылатынын  не  

табылмайтынын анықтау қажет. 

Осыдан 

−

+

=

−

=

+

=









⇒ =

=

⋅ + ⋅ = ≠

2

4

0

4

2

6

3

3

7

2

1 3 2 3 1

9

7

x

y

x

y

x

y

x

y

,

,

,

,

,.

көрсетілген  теңдік  орындалатындай 

х  және  у  сандары  табылмайды.  Онда  

OA OB OC

 

  

  



,

,

  векторлары  сызықтық  тәуелсіз  болып, 

А,  В,  С,  О  нүктелері  бір 

жазықтық бойында жатпайды.

3.62. Бұл есеп 3.55-есеп сияқты шығарылады.

62

3.63.  AB

 



=

−

( ; ;

),

1 2

5   AC

k

 



= −

+

( ;

; ),

1

2 1

BC

k

 



= −

( ; ; ).

2

6

AB

AC

k

 



 



=

=

+

+

30

2

2

2

;

(

) ;

 

BC

k

 



=

+

2

40.

1) 

AC=AB 

⇒ (k+2)

2

+2=30 

⇒ = − ±

k

2 2 7;

2) 

AB=BC болуы мүмкін емес, себебі 30

40

2

≠

+

k

,

3) 

AC=BC 

⇒ k

2

+40=2+(

k+2)

2

 

⇒ k=8,5. 

Жауабы: 8,5; 

− ±

2 2 7.  

3.64. 

AA

a

′ =

 





 теңдігінен  ′

= +

′= +

′= +

x x a y y b z z c

,

,

 теңдіктері шығады.

3.66. 

OA

 



= −

( ;

; ),

1

2 3  

OB

 



=

−

( ; ;

).

2 0

2   OA

OB

 



 



=

=

14

2 2

;

.   3.28-есеп  бойынша 

OB OA OA OB

 

  

  

  



⋅

+

⋅

векторы 

АОВ бұрышы биссектрисасына коллинеар болады.

a OB OA OA OB

  

  

  

  



=

⋅

+

⋅

=

−

+

− =

2 2 1

2 3

14 2 0 2

( ;

; )

( ; ;

)

=

+

−

−

(

)

2 2 2 14

4 2 6 2 2 14

;

;

.

a



=

+

+

+

−

= ⋅

−

8 1

7

32 8 3

7

4

2 7

7

2

2

(

)

(

)

.

e

a

a







=

 — бізге қажет бірлік вектор: 

e



=

+

−

−

−

−

−















 =

2 2 1

7

4 2 7

7

4 2

4 2 7

7

2 2 3

7

4 2 7

7

(

)

;

;

(

) =

+

−

−

−

−

−

















1

7

2 7

7

1

7

7

3

7

2 7

7

;

;

.

63

Тақырып бойынша келесі 

мақсаттарға  қол 

жеткізіледі

Оқыту ресурстары

10.4.4; 

10.4.8; 

10.4.9; 

10.4.16; 10.4.17; 10.4.18.

1.  Ә. Н. Шыныбеков, Д. Ә. Шыныбеков,  Р. Н. Жұмабаев. 

Геометрия-10,  

жалпы 

редакциясын 

басқарған  

М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019

2. Ә. Шыныбеков, Геометрия-10, дидактикалық мате-

риалдар жинағы  

«Атамұра», Алматы, 2019

3. http://bilim land.kz/ru

4. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv

5. http://interneturok.ru/ru/shkool/geometry/10-

klass/

6. http//www.yaklass.ru/p/ geometry/ 10-klass/

7. http//www-formyla.ru/index.php/2011-09-2-39-

24/2011-09-20-23-58-11

8.http://festival.september.ru/articles/100725/

9.http://www.youtube.com/watch?v=LKuC7RF2hZA

10. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules18

Әдістемелік нұсқаулар. Тақырыпты меңгеруге 6 сағат бөлінген және мұнда  

қарастырылатын  формулалардың  барлығы  да  оқушылардың  9-сыныпта  өткен  

формулаларына  ұқсас.  Сондықтан  бұл  модульдің  теориялық  бөліміндегі  кіріс- 

пеге  бөлінген  уақыт  ішінде  оқушылармен  бірге  жазықтықтағы  векторлардың  

скаляр    көбейтіндісінің  анықтамасы  мен  қасиеттерін  қысқаша  қайталап,  

сәйкес  формулаларды  олардың  естеріне  түсіріп  алған  тиімді.  Ал  жаңа  сабақ- 

тың  нәтижесі  ретінде,  негізінен,  скаляр  көбейтіндіні  көбейткіштердің  коорди- 

наталары  арқылы  анықтауға  арналған  формула  мен  оның  салдарларын  беріп,  

ең  бастысы,  осы  формулалардың  іс  жүзінде,  есептер  шығару  барысында  оқу- 

шылардың  қолдана  білуі  бейімділіктеріне  жете  көңіл  бөлу  қажет.  Бұл  

формулалар  оқушылардың  жадында  қалуы  үшін  мынадай  үлгіде  қысқаша 

конспект жаздырту қажет. 

векторлардың скаляр көбейтіндісі 

64

ескерту:

Оқушылардың  векторлардың  белгісін  (нұсқаманы)  дұрыс  қолдануын  мұқият 

қадағалаңыз.

a

x y z

b

x y z





=

=

( ;

; ),

( ;

;

),

1

1

1

2

2

2

a b

a b

 

 

⋅ =

⋅ ⋅ cos ,

ϕ

a b

x x

y y

z z

 

⋅ =

+

+

1 2

1 2

1 2

.

Векторлардың перпендикулярлық шарты:

a

b

a b





 

⊥ ⇒ ⋅ = 0,

x x

y y

z z

1 2

1 2

1 2

0

+

+

= .

Екі вектор арасындағы бұрыштың формуласы:

сos

ϕ =

a b

a b

 

 

⋅

⋅

, сos

ϕ =

x x

y y

z z

x

y

z

x

y

z

1 2

1 2

1 2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

+

+

+

+

+

+

.

                  

A(x

A

; 

y

A

;

 z

A

), 

B(x

B

; 

y

B

;

 z

B

), 

C(x

C

; 

y

C

;

 z

C

),

AC CB

AC

CB

AC

CB

:

.

= ⇒

= ⋅

⇒

= ⋅

λ

λ

λ

 



 



x

x

x

y

y

y

z

z

z

C

A

B

C

A

B

C

A

B

=

+

+

=

+

+

=

+ ⋅

+

λ

λ

λ

λ

λ

λ

1

1

1

,

,

.  —  кесіндіні  берілген  қатынаста 

бөлу формуласы.

Кесіндінің ортасын анықтау формуласы:

λ = ⇒

=

⇒

1

AC

CB

x

x

x

y

y

y

z

z

z

C

A

B

C

A

B

C

A

B

=

+

=

+

=

+

2

2

2

,

,

.

Мұнда  кесіндіні  берілген  қатынаста  бөлу  формуласы  скаляр  көбейтіндімен 

үйлесімділігі  шамалы  болғанымен,  жалпы  білім  беретін  мектептерде  коорди- 

наталық тәсілдің қолданылу ауқымын анағұрлым кеңейту мақсатында беріліп 

отыр  (және бұл материалдар ҰБТ-де кездеседі).

Жаттығуларға шолу. А тобында берілген есептердің көпшілігі формулаларды 

бірден қолдануға арналған машықтандыру есептері.

3.68. 7) 

ab



= −

2

2,   a c

 

= 0,   bd

cd





= −

=

9

11

,

, болғандықтан,  a d b c

ab ac bd cd

   

   

+

(

)

−

( )

=

−

+

−

= −

− − −

=

2

2 0 9 11

a d b c

ab ac bd cd

   

   

+

(

)

−

( )

=

−

+

−

= −

− − −

=

2

2 0 9 11 –18– 2 .

a b

x x

y y

z z

 

⋅ =

+

+

1 2

1 2

1 2

.

a b

x x

y y

z z

 

⋅ =

+

+

1 2

1 2

1 2

.



a b

x x

y y

z z

 

⋅ =

+

+

1 2

1 2

1 2

.

a b

x x

y y

z z

 

⋅ =

+

+

1 2

1 2

1 2

.

C

A

B

C

A

B

65

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: