Экзаменационные вопросы Матрицы. Операции над матрицами
Минором М элемента а называется определитель, получаемый путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением А
жүктеу/скачать 2 Mb.
|
матеша
вячеслав ким
| Минором М элемента а называется определитель, получаемый путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением А элемента а называется его минор, взятый со знаком (-1) , т.е. А = (-1) М Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Свойства: Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Теорема Лапласа(она выше)(о разложении определителя по элементам строки(столбца)) Ранг матрицы. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы. Ранг матрицы - это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) основные методы вычисления ранга матрицы: 1. Метод элементарных преобразований а) перестановка строк (столбцов) в) умножение строки (столбца) на отличное от нуля число с) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число д) транспонирование матрицы. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы 2. Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден минор k-го порядка Мк , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)- го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор Мк.. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)- го порядка и вся процедура повторяется. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы называется базисным У матрицы может быть несколько базисных миноров Обратная матрица. Матрица А называется обратной матрице А, если А ·А =А ·А=Е, где Е- единичная матрица, А- невырожденная квадратная матрица (определитель не равен 0) Обратная матрица находится по формуле: Ã, где |А| ≠0 Обратная матрица равна произведению дроби, в числителе которой единица, в знаменателе - определитель, и присоединенной матрицы Ã называется присоединенной матрицей. Матрица Ã состоит из алгебраических дополнений транспонированной матрицы А*. Системы линейных уравнений. Система линейных уравнений - система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство Решение систем лин. Уравнений матричным способом АХ=В А-1АХ= А-1В Х= А-1В где А- невырожденная матрица (0) Метод крамера Если 0 , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: , , . - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных x(y или z) – определитель, получаемый путем замены столбца коэффициентов при х(у или z) на столбец свободных членов Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Сначала записывается расширенная матрица системы. Для этого в главную матрицу добавляется столбец свободных членов. Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (треугольному) виду. Трехмерное пространство R3 Векторы. Линейные операции над векторами Вектором, обозначаемым , называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси называют единичным вектором (или ортом) оси. Обозначим через соответственно орты координатных осей Ох, Оу, Оz. вектор может быть разложен по ортам координатных осей. = х + + Координаты вектора находятся с помощью вычитания от координат конца вектора координаты его начала. жүктеу/скачать 2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|