Экзаменационные вопросы Матрицы. Операции над матрицами
жүктеу/скачать 2 Mb.
|
матеша
- Бұл бет үшін навигация:
- Правила дифференцирования
- Функция называется явной
- Теорема
| Производной функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Или коротко: Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке.
у = или у = Операция нахождения производной называется дифференцированием. Теорема. Если функция y = f(x) имеет производную на множестве Х, то она непрерывна на этом множестве. Правила дифференцирования y=(u v); y = u v , где u=u(x), v=v(x) – функции. , где u=u(x), v=v(x) – функции. y= , где u=u(x), v=v(x) – функции. 4. y=uv; y = uv + vu, где u=u(x), v=v(x) – функции. 5. , где С=const, u=u(x) - функция. Таблица производных (х) =1 9. (sin х) = cos х (C)= 0, (С=const) 10. (cos х) = -sin х (х n) = n х n-1 11. (tg х) = 4. ( ) = 12. (ctg х) = - 5. (ln х) = 13. (arcsin х) = 6. (е х)= е х 14. (arсcos х) = - 7. (loga х) = 15. (arctg х) = 8. (ах)= ах lna 16. (arcctg х) = - Производные от неявной и параметрически заданной функции. Функция называется явной (или заданной в явном виде), если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция. Функция аргумента называется неявной (или заданной в неявном виде), если она задана уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной. Если неявная функция задана уравнением F( ; )=0, то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом как функцию x, полученное затем уравнение разрешить относительно . Зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений (1) где - вспомогательная переменная, называемая параметром Функцию , определяемую параметрическими уравнениями (1), можно рассматривать как сложную функцию где По правилу дифференцирования сложной функции имеем: С учетом равенства (2)получаем т.е. Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть дифференцируемая функция, а её аргумент независимая переменная. Тогда её первый дифференциал . Дифференциал от дифференциала функции называется её вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или Итак, по определению .Найдем выражение второго дифференциала функции Так как не зависит от то при дифференцировании считаем постоянным: т.е. (5) Здесь обозначается Производная функции есть также функция от и называется производной первого порядка . Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка Итак, Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка Применение производной в исследовании функций Точка хо называется точкой максимума функции у= , если в некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство: Опр. Точка хо называется точкой минимума функции у= , если в некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство: Опр. Экстремумом функции называется максимум или минимум функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки хо Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где её производная равна нулю или не существует. Теорема (необходимое условие экстремума). Для того, чтобы функция в точке хо имела экстремум, необходимо, чтобы = 0 или не существовала. Опр. Точка хо, в которой первая производная равна нулю или не существует называется критической точкой первого рода или стационарной Если в точке хо достигается экстремум, то эта точка критическая, но не каждая критическая точка является точкой экстремума. Касательная к графику функции у= в критической точке хо параллельна оси ОХ ( =0) или оси ординат ( =) или нет определенной касательной. жүктеу/скачать 2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|