§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела

5 2. БЕС КО Н ЕЧН Ы Е ВЕЛ И ЧИ Н Ы . ПРИЗНАКИ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ ПРЕД ЕЛА 
3 !
201. Функция у — 
2
хі_\ бесконечно велика при х —ъО. Каким нера­
венствам должен удовлетворять х, чтобы \у\ было больше 100?
202. При х —
у
 
оо имеем: у =  lg х —>
■
оо. Каково должно быть ЛІ, 
чтобы из х ^ > М  следовало у  > N  = 100?
203. Какие из основных элементарных функций являются ограничен­
ными во всей области их определения?
204. Доказать, что функция у  = ^
ограничена на всей число­
вой оси.
205. Будет ли функция у  = у ^ -5- ограничена на всей числовой оси?
Будет ли она ограничена в интервале (0, со)?
206. Является ли функция у  = lg sin х  ограниченной во всей области 
ее существования?
Тот же вопрос относительно функции y = lgcos.*r.
207. 1) Доказать, что функции у — х  sin х  и у — x c o s x  не ограни­
чены при х —усо (указать для каждой из них хотя бы по одной такой 
последовательности х т  для которой у п—у со).
2) 
Будут ли указанные функции бесконечно большими?
В) Построить графики этих функций.
208. Построить графики функций f ( x ) — 2x*'mx и f ( x ) — 2—«sin*. 
Для каждой нз этих функций указать такие две последовательности
х п и х'п значений х, что lim f ( x n) =  со, a lim f(x ^ ) = 0.
/I —►
оо 
tl —►
СО
209. При каких значениях а функция у  = ах sin х  будет не ограничена 
при х  —► + со (х —>
— оо)?
210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция:
1) f ( x ) = — c o s y при 
х
—
у
0;
2) /(.V) = х  arctg х  при х
со;
3) f ( x ) — 2х arcsin (sin х ) при х
—
у
-f- оо;
4) f (x) = (2 + sin х) lg лг при X —.у + со;
5) f ( x ) — (1 4- sin х ) lg х  при х —у -j- со?
211. Функция ип принимает значения
г» 
3 
4 
tl
 -J-1
их = 2, и2 = -4-, к3 = Q-, ..., ип = 
. . .
Доказать, что «„ — бесконечно малая величина при п —у со.
212. Функция ип принимает значения
п 
.. _
1 
_ 1 
_ 1 
.. 
п2 — 8
Mi 
I j U<
&
2 ’ Н3 
97 >
M.j 
g , . . . , Uп 
, . . .
Доказать, что ип — бесконечно малая величина при п —у оо.

32
ГЛ. II. П РЕДЕЛ. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
213. Доказать, что у =
—>
■
0 при лг-^0. Каким условиям дол­
жен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство |j;|« < 10-4?
214. Показать, что при х -*-оо функция у = У х-\-\— У х  стре­
мится к нулю. Каким должно быть N, чтобы при х  ;> N  было у  < е?
215. Доказать, что если предел функции f { x )  при х-^-оо равен а, 
то f ( x )  можно представить в виде суммы f (x) — a -j- ср (х ), где ф(-аг) 
бесконечно мала при х-^-оо.
Представить в виде такой суммы следующие функции:
1\ 
Х'' 
Оч 
Х~ 
ОЧ 
I — х2
1) j ' = ^ r r ; 
2) J '= - S q г г : 3)- ^ = т + Ғ -
П р и з н а к и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а
216*. Функция ип принимает значения
1 
1 , 
1 
1 
, 
1 
, 
, 
1
Н 1 
л > 
11Ъ 
<1 “ Г 1 л > * • *»
4 '
“ 2
4
I ю» •••» 
3+1 1 32+1 ‘ ••• 1 3«-и ’
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при «->■ оо.
217. Функция ип принимает значения
1 
• 
1
I 
1 
1 I 
1 
I 
1
«1
— 2 >
lh 
2 ‘ у - 4 ’ 
“ 3
“ 2 
2 • 4 
2 • 4 • 6 * ’ * *
1 .
1
. 
. 
1
...» «в 
2 1
2-4 1 
1 2• 4... (2/г) » * ’ *
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при п 
оо.
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же изме­
нении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций 
возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу.
219. Даны два числа: и0 и г>
0 (u0ип и vn задаются формулами
вообще
«о + Уо 
г*і-|-2ух- 
_
2 
’ 
1 ”
3 
’ 
2 ~
2 
’ 
2 — 
3 
’
.. __ ип-\ + v n-i 
__ un-l~\~~v n-i
1 
V п -- 
О “ •
2
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей задаче, 
что обе последовательности ип

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: