Если каждой паре векторов X, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (X, y), так, что для лю
жүктеу/скачать 91 Kb.
|
Курсовая работа По теме Евклидовы пространства (копия)
| Примеры
Под векторами пространства R мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства. Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Очевидно, что аксиомы 10-40 действительно выполнены. Векторами пространства R назовем всякую систему n действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определим так : где Скалярное произведение векторов x и y определим формулой Легко проверить, что аксиомы 10-30 действительно выполнены. Аксиома 40 также справедлива, так как и только при . 3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2. Вектор по-прежнему определим как совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2. Зададимся некоторой матрицей ||aik||. Скалярное произведение векторов x и y определим формулой Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу ||aik||, чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 20 и 30 выполнены для всякой матрицы ||aik||. Для того чтобы была выполнена аксиома 10, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно x и y, необходимо и достаточно, чтобы aik=aki (2) т.е. чтобы матрица ||aik|| была симметричной. Аксиома 40 требует, чтобы выражение было неотрицательно для любых и обращалось в нуль, лишь если . Однородный многочлен (“квадратичная форма”), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все равны нулю. Аксиома 40 требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной. Итак, всякая матрица ||aik|| задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная. Если в качестве матрицы ||aik|| взять единичную матрицу, т.е. положить и , то скалярное произведение (x,y )примет вид и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2. 4. Векторами пространства R мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (a,b); скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения . Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 10-40 выполнены. 5. Будем считать векторами многочлены от t степени не выше n-1. Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере: Аксиомы 10-40 проверяются как и в примере 4. жүктеу/скачать 91 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|