Урок № Скалярное произведение векторов Перечень вопросов, рассматриваемых в теме



Дата06.02.2022
өлшемі100,64 Kb.
#80264
түріУрок
Байланысты:
Конспект урока 3
Конспект урока 3



Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок № 2. Скалярное произведение векторов
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;
- показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.
- рассмотреть основные свойства скалярного произведения;
- сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;
- показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Глоссарий по теме:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению: 
Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты: 
Основная литература:
Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс - М.: Бином, 2010 - с. 130-148
Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение - 13-е изд-е. - М.: Просвещение, 2014. - с. 51-52
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. - М.: Просвещение, 2010. - с. 259-270.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Работа по теме урока. Объяснение новой темы
Угол между векторами
Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.


Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Скалярное произведение векторов:
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:
Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 
Формула скалярного произведения двух векторов  и 
Через их координаты 
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.
Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:
1)  причем  при 
2)  (переместительный закон).
3)  (распределительный закон).
4)  (сочетательный закон).
Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Дано:  прямоугольный параллелепипед, где  . Найти  и  .
Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.
Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой BD направляющим может является вектор BD , а для прямой 
CD - CD вектор (рис. 15)
Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB1 равна 2.
Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D1.
Точка B(0;0;0). Точка D(1;1;0). Точка C(0;1;0) . А точка D (1;1;2).
Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.
Получаем, что вектор BD {1-0;1-0;0-0}. А вектор
CD{1-0;1-1;2-0}.
Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.
Рис. 15

Ответ: 
Пример 2.
Дано: DABC – пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DCDA = DB = DC = а.
Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:


Решение:
Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.
Введем систему координат как показано на рисунке.
Найдем координаты векторов 


Применив формулу косинуса угла между векторами, получим  .
Ответ: 

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет