Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық

Шеңбер нүктелерінен оның центріне дейінгі ара қашықтық шеңбердің радиусы деп аталады. Радиус деп, сондай-ақ шеңбер нүктесін оның центрімен қосатын кез келген кесіндіні айтады (109-сурет).

111 сурет

Шеңбердің центрі оның симметрия центрі болады. Шеңбердің кез келген диаметрі оның симметрия өсі болады.

Теорема-1.





Б

131-суретте а түзуі шеңбердің А нүктесі арқылы ОА радиусына перпендикуляр болып өтеді. А түзуі шеңберге жанама болып табылады. А нүктесі жанасу нүктесіі болып табылады. Былай айтуға да болады: шеңбер а) түзуін А нүктесінде жанайды.

114-сурет

Шеңбер мен жанаманың жанасу нүктесінен басқа ортақ нүктесі жоқ.Ортақ нүктесі бар екі шеңбердің осы нүктеде ортақ жанамасы бар болса, шеңберлер осы нүктеде жанасады дейді (114-сурет). Егер шеңберлердің центрлері ортақ жанаманың бір жағында жатса, онда жанасу іштей жанасу деп аталады (114, а-сурет). Егер шеңберлердің центрлері ортақ жанаманың әр жағында жатса, онда жанасу сырттай жанасу деп аталады (114, б-сурет).

2. Бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөледі. Бұл бөліктерді әрқайсысы жазық бұрыш деп аталады. 115-суретте қабырғалары а мен b болатын жазық бұрыштардың бірі штрихталып көрсетілген. Қабырғалары ортақ жазық бұрыштар толықтауыш бұрыштар деп аталады.

Егер жазық бұрыш жарты жазықтықтың бөлігі болса, оның градустық өлшеуіші деп қабырғалары солардың өздері болатын бұрыштың градустық өлшеуішін атайды. Ал, егер жазық бұрыш жарты жазықтықты қамтыса, оның градустық өлшеуіші _ - _-ға тең болады, мұндағы _ - толықтауыш жазық бұрыштың градустың өлшеуіші (116-сурет).

115-сурет 116-сурет

117-сурет 118-сурет

Төбесін шеңбер бойында жатып, ал қабырғалары сол шеңберді қиып өтетін бұрыш шеңберге іштей сызылған бұрыш деп аталады. 118-суретте шеңберге іштей сызылған бұрыш кескінделген. Оның А төбесі шеңбер бойында жатыр да, ал оның қабырғалары шеңберді В мен С нүктелерінде қиып өтеді. Кейде А бұрышын ВС хордасына тіреліп жатыр деп айта береді. ВС түзуі шеңдерді екі доғаға бөліп тұр. Осы доғалардың А нүктесін қамтитынына сәйкес центрлік бұрыш берілген іштей сызылған бұрышқа сәйкес центрлік бұрыш деп аталады.

Теорема. Шеңберге іштей сызылған бұрыш сәйкес центрлік бұрыштың жартысына тең болады.

Дәлелдеу. Алдымен бұрыштың бір қабырғасы шеңбердің центрі арқылы өтетін дербес жағдайды қарастырайық (119, а-сурет). АОВ үшбұрышы тең бүйірлі, өйткені оның ОА мен ОВ қабырғалары радиус болғандықтан тең болады. Сондықтан үшбұрыштың А мен В бұрыштары тең. Ал олардың қосындысы үшбұрыштың О төбесіндегі сыртқы бұрышына тең болатындықтан, үшбұрыштың В бұрышы АОС бұрышының жартысына тең болады, дәлелдемекшіміз осы болатын.

119-сурет

Жалпы жағдайды қарастырау үшін көмекші BD диаметрін дербес жағдайда қарастыру жеткілікті (119, б, в-сурет).

119, б-суретте көрсетілген жағдайда

119, в-суретте келтірілген жағдайда

Теорема толығымен дәлелденді.

Дербес жағдайда, диаметрге тірелетін бұрыштар тік болады. 120-сурет

Егер шеңбердің АВ және CD хордалары S нүктесінде қиылсатын болса, онда

Алдымен ASD және CSB бұрыштарының ұқсас болатындығын дәлелдейік (121-сурет). Іштей сызылған бұрыштар DCB және DAB жоғарыдағы салдары бойынша тең. ASD және BSC бұрыштары вертикаль болғандықтан тең. Осы айтылған бұрыштардың теңдігінен ASD және CSB бұрыштарының теңдігі шығады.

Үшбұрыштардың ұқсастығынан мынадай пропорция шығады:

Бұдан

Дәлелдемекшіміз де осы болатын.

121-сурет 122-сурет

Айталық, А және С – қиюшылардың шеңбермен қиылысу нүктелерінің Р нүктесіне ең жақыны дейік (122-сурет). PAD мен PCB бұрыштары ұқсас. Олардың Р төбесіндегі бұрышы ортақ, ал В және D төбелеріндегі бұрыштары шеңберге іштей сызылған бұрыштардың қасиеті бойынша тең болады. Үшбұрыштардың ұқсастығынан мынадай пропорция шығады:

Бұдан _, дәлелдеу керегі де осы болатын.