Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
- Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустары үшін формулалар.
- 4.1.Тік төртбұрыш.
- Параллелограмм.
3  . Егер шеңбер үшбұрыштың барлық төбелері арқылы өтсе, онда ол үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер деп аталады.
Теорема. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыш қабырғаларының орталары арқылы жүргізілген перпендикулярдың қиылысу нүктесі болып табылады. 123-сурет Дәлелдеу. Айталық АВС – берілген үшбұрыш және О – оған сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын (123-сурет). АОС үшбұрышы тең бүйірлі: оның ОА мен ОС қабырғалары радиустар болғандықтан тең. Бұл үшбұрыштың ОD медианасы оның биіктігі де болып табылады. Сондықтан шеңбердің центрі АС қабырғасына перпендикуляр әрі оның ортасынан өтетін түзудің бойында жатады. Дәл осылайша шеңбердің центрі үшбұрыштың қалған екі қабырғасының да перпендикулярында жататыны дәлелденеді. Теорема дәлелденді. Ескерту. Кесіндінің ортасы арқылы өтіп және оған перпендикуляр болатын түзуді көбінесе орта перпендикуляр деп атайды. Осыған байланысты кейде былай дейді: үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыш қабырғаларының орта перпендикулярының қиылысу нүктесінде жатады. Егер шеңбер үшбұрыштың барлық қабырғаларын жанайтын болса, онда ол үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады. Теорема. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі оның биссектрисаларының қиылысу нүктесі болады. 
124-сурет Дәлелдеу. Айталық, АВС – берілегн үшбұрыш, О – оған іштей сызылған шеңбердің центрі, D, E және F шеңбердің қабырғалармен жанасу нүктелері болсын (124-сурет). Тік бұрышты үшбұрыштар AOD және AOE гипотенузасы мен катеті бойынша тең. Бұлардың АО гипотенузасы ортақ, ал ОЕ катеттері радиустар болғандықтан тең. Үшбұрыштардың теңдігінен OAD және ОАЕ бұрыштарының теңдігі шығады. Демек, О нүктесі үшбұрыштың А төбесіне жүргізілген биссектрисаның бойында жатады. Дәл осылайша, О нүктесі үшбұрыштың қалған екі биссектрисасының да бойында жататыны дәлелденеді. Теорема дәлелденді. Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустары үшін формулалар. Үшбұрышқа сырттай сызылған (R) және оған іштей сызылған (r) шеңберлердің радиустары үшін келесі формулаларды қорытып шығарайық.  
125-сурет Мұндағы a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, ал S – оның ауданы. Шешуі. Формуланы алдымен R үшін қорытайық. Өзіміз білетіндей Теңдіктің оң жақ бөлігінің алымы мен бөлімін bc-ге көбейтіпжәне де  , екендігін ескеріп, мынаны табамыз:
Енді формуланы r үшін қорытамыз (125-сурет). АВС үшбұрышының ауданы ОАВ, ОВС және ОСА үшбұрыштары аудандарының қосындысына тең болады: 
Бұдан
4.1.Тік төртбұрыш. Қабырғалары а мен b тік төртбұрыштың ауданын табайық. Ол үшін алдымен табандары бірдей екі тік төртбұрыштың аудандарының қатынасы олардың биіктіктерінің қатынасындай болатынын дәлелдейік. Айталық ABCD және  табандары AD ортақ екі тік төртбұрыш болсын (126, а-сурет). Айталық, S пен  – олардың аудандары болсын. Сонда  болатындығын дәлелдейік. Тік төртбұрыштың АВ қабырғасын, әрқайсысы  -ге тең бірдей n бөлікке бөлейік. Айталық, сонда  қабырғасында жатқан бөлік нүктелерінің саны m болсын. Сонда
Мұны АВ-ге бөліп, бұдан мынаны табамыз: 
Бөлу нүктелері арқылы AD табанына параллель түзулер жүргіземіз. Олар ABCD тік төртбұрышын бірдей n тік төртбұрыштарға бөледі. Олардың әрқайсысының ауданы 
Бұдан
Енді (*) және (**) теңсіздіктерінен екі санның (  және  ) екеуі де  және  сандарының аралығында жатады. Сондықтан олардың айырмашылығы  –ден артық емес. Ал n санын соншама үлкен сан етіп алуға болатындықтан, әлгі айтқанымыз тек  болғанда ғана орындалады, дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Енді аудан бірлігі болып табылатын қабырғасы 1-ге тең квадратты, қабырғалары 1-ге, а-ға тең тік төртбұрышты және қабырғалары а, b болатын тік төртбұрышты алайық (126, б-сурет). Олардың ауданыдарын салыстыра отырып, дәлелденген бойынша мынаны табамыз:  және 
 
126-сурет Бұл теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, мынаны табамыз:
Сонымен, қабырғалары a, b болатын тік төртбұрыштың ауданы  формуласы бойынша есептеледі.
Параллелограмм. Айталық, ABCD – берілген параллелограмм болсын. Егер ол тік төртбұрыш болмаса, онда оның А не В бұрыштарының бірі сүйір болады. Анықтық үшін, А бұрышы сүйір делік, 82-суретте солай кескігделген. А төбесінен CD түзуіне АЕ перпендикуляр түсіреміз. ABCE трапециясының ауданы ABCD параллелограмм мен ABE үшбұрышы аудандарының қосындысына тең болады. В төбесінен СD түзуіне BF перпендикулярын түсіреміз. Сонда АВСЕ трапециясының ауданы ABFE тік төртбұрышы мен BCF үшбұрышы аудандарының қосындысына тең болады. Т  ік бұрышты ADE мен BCF үшбұрыштары тең, олай болса, олардың аудандары да бірдей болады. Бұдан шығатын қорытынды: ABCD параллелограмының ауданы ABFE тік төртбұрышының ауданына тең, яғни  -ке тең болады.
BF кесіндісі параллелограмның АВ мен СD қабырғаларына сәйкес биіктігі деп аталады. Сонымен, параллелограмның ауданы оның қабырғасын осы қабырғаға түсірілген биіктікке көбейткенге тең болады. Үшбұрыш. А  йталық, АВС – берілген үшбұрыш болсын (127-сурет). Осы үшбұрышты, суретте көрсетілгендей, ABCD параллелограмына дейін толықтырамыз. 127-сурет
Параллелограмның ауданы АВС мен СDA үшбұрыштары аудандарының қосындысына тең. Бұл үшбұрыштар тең болғандықтан параллелограмның ауданы ABC үшбұрышының екі еселенген ауданына тең болады. Параллелограмның AB қабырғасына сәйкес биіктігі ABC үшбұрышының AB қабырғасына жүргізілген биіктігіне тең болады. Б  ұдан шығатын қорытынды: үшбұрыштың ауданы оның қабырғасы мен осы қабырғаға түсірілген биіктіктің жарым көбейтіндісіне тең болады: 
Енді үшбұрыштың ауданы оның кез келген екі қаыбрғасын олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейткенге тең болатынын дәлелдейік. Айталық, АВС берілген үшбұрыш болсын (128-сурет). Сонда ABC үшбұрышының BD биіктігін жүргіземіз. Мынау белгілі: 128-сурет 
Тік төртбұрышты ABD үшбұрышында α бұрышы сүйір болғанда (128, а-сурет).  ,  бұрышы доғал болғанда (128, б-сурет).  .  болғандықтан, қай жағдайда да болады. Олай болса, үшбұрыштың ауданы
𝑆=  .
Қабырғаларының ұзындықтары a, b, c болатын үшбұрыштың ауданы  , мұндағы  – жарты периметр, формуласымен есептелетінін көрсетейік. Бұл формула үшбұрыштың ауданы үшін Герон формуласы деп аталады.
Үшбұрыш ауданын есептеу үшін мына формула белгілі: 
М 
Бұдан
Демек, 
Енді  ,  ,  ,  екенін ескеріп, мынаны табамыз:
Сонымен, 
жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
, мұндағы α – үшбұрыштың а қабырғасына қарсы жатқан бұрышы.
–ге тең. 
ұндағы γ – үшбұрыштың с қабырғасына қарсы жатқан бұрышы (129-сурет). Косинустар теоремасы бойынша