санын көбейтіндісі осы санға тең болатын жай көбейткіштердің тек бірден-бір ғана қатары

4 116 420	2
2 058 210	2
1 029 105	3
343 035	3
114 345	3
38 115	3
12 705	3
4 235	5
847	7
121	11
11	11

Бір бөлгіштің өзін бұл мысалда 2, 3 және 11-ді, қашан бүтін бөлінді шықпайтын жағдайға кездескенше, қатарынан бірнеше рет қайталап сынау қажет. Онан кейін бұл бөлгішті қойып, басқасына көшу керек, өйткені әрбір алдыңғы бөлінді әрбір келесі бөліндінің еселігі болады, сондықтан егер қандай да бір алдыңғы бөлінді бір жай санға бөлінбейтін болса, ол жай санға келесі бөлінді де бөлінбейді.

2
.

Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрге келтіру қажет деген ой мәдениеттің дамуының ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол ой күнделік өмір қажетінен туған.

Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы білетін етене жинақтың бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған. Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы адамның айқын түсінігі болған.

Адам баласының көпшілігі жиынды осы түрде түсінетін болғандықтан, көбінесе олар 10 элементтен құралған жиынмен қанағаттанған (сірә, бұл адамның он саусағы болатындығына байланысты болар), сондықтан мәдениеттің алғашқы кезеңдерінде стандарт жиындарды ұлғайту процесінде көбінесе сол он элементтен құралатын жинақпен қанағаттанып отырған. Бірақ мәдениеттің өркендеп дамуымен байланысты қуаты бұдан едәуір артық жиынды білу қажет болған. Осы практикалық қажеттен санаудың мынадай әдісі пайда болған: жиынды санау процесінде стандарт жиынды сипаттайтын белгілі бір санға, көбінесе 10 санына жеткенде, 10 элементтен құралған топты өз алдына жеке бөліп, онан әрі қарай тағы да бірден бастап санаған, сөйтіп жаңа топ құралғанша осылай санай отырып, бұл топтардың санын және қалған элементтер санын анықтап отырған. Осындай 10 топ шыққанда, олардың өзін үлкен бір топ ретінде қарастырып, мұндай топтарға, жеке элементтерге арнаулы атаулар берілген.

Осындай қарапайым принципті қолдану нәтижесінде, түсінікке жеңіл аздаған сандар жинағын пайдаланып, тең қуатты жиындардың практикалық іс-әрекет кездесетін кез келген кластарын сипаттауға мүмкін болды.

Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да адамның сол іс-әрекеті анықтап берді.

Практика талаптарына сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының өзінде-ақ “бір”, “екі”, “үш” т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін және элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.

Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған “орындарына қарай” мән беру керек деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі берілген санның жазбаша кескінінде алып тұрған орнына қарай әр түрлі мәнге ие болады.

Санау жүйесінің негізі етіп бір k санын алсақ, санау жұмысын жүргізу үшін біздің қарамағымызда сандардың мынадай қатарлары болады:

1. 
   1, 2, 3, 4, . . . , (k - 1).
   
2. 
   k, 2k, 3k, 4k, . . . , (k - 1) ^. k
   
3. 
   k², 2k², 3k², 4k², . . . , (k - 1) ^. k²
   

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n+1) ^. kⁿ, 2kⁿ, 3kⁿ, 4kⁿ, . . . , (k - 1) ^. kⁿ

Негізі k саны болып келген бұл санау жүйесінде кез келген N санын мынадай қосындысы түрінде көрсетуге болады:

мұндағы а₀, а₁, а₂, а₃, . . . , а_n таңбалары 1 - ден (k - 1) - ге дейінгі, (k - 1) санын қоса алғандағы, сандарды кескіндеу үшін қолданылған таңбалар.

Бұл жерде мынадай жағдайды аңғару оңай: N санын осындай түрде көрсеткенде, біз жоғарыда аталған принципті дәл сипаттап берген боламыз, ал бұл принцип белгілі көлемдегі сандардан артық сандарды, яғни жиынды сипаттайтын, стандарт жиындарды санағанда қолданылған сандардан артық сандарды, жасау үшін мәдениеттің бастапқы кезеңдерінің өзінде-ақ пайдаланылып отырған.

Мұны санмен берілген мысалмен түсіндірелік. Егер жүйенің негізі етіп 10 санын алсақ, онда санау операциясы үшін бізде мынадай разрядтар болады:

1. 
   (бірліктер) . . . . . 1, 2, 3, 4, . . . . . . . . . . 9
   
2. 
   (ондықтар) . . . . . 1^.10, 2^.10, 3^.10 . . . . . . 9^.10
   
3. 
   (жүздіктер) . . . . 1^.10², 2^.10², 3^.10² . . . . . 9^.10²
   
4. 
   (мыңдар) . . . . . 1^.10³, 2^.10³, 3^.10³ . . . . . 9^.10³
   

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Сандарды қандай да бір жүйе бойынша кескіндеп көрсету үшін, жүйенің негізі үшін ерекше бір таңбаны алудың қажеті жоқ.

Позициялық (цифрларға орнына қарай мән беру негізінде құрылған) санау жүйесінің қай-қайсысында болсын жүйенің негізі нолі бар 1 цифрымен өрнектеледі, өйткені бірліктердің жүйе негізіне тең саны келесі жоғары разрядтың бір бірлігін құрайды.

1-ден 9-ға дейін, 9-ды қоса алғандағы, сандарды белгілеу үшін ерекше таңбалары бар және 0-ді қолданған, цифрларға орнына қарай мән берген жүйе әуелде индустарда пайда болған да, сірә, VIII ғасырда арабтарға көшкен, олардан IX ғасырда Европаға тараған.

Негізіне 10 саны алынғандықтан, бұл жүйе ондық жүйе деп аталады.