Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
2. Индустардың санау жүйесі VIII ғасырда арабтарға ауысып, бұлардан Европаға көшті. Цифрларға орнына қарай мән беру жүйесімен бірге арабтардан Европаға индус цифрлары да тарады, сонан бері бұл цифрлар араб цифрлары деп аталатын болды. Әуелде араб цифрларының біздің қазіргі цифрларымызға ұқсастығы шамалы болатын, олар бірте-бірте өзгере отырып, қазіргі түрге келді (5-сурет). Сандарды жазу үшін қазіргі уақыттың өзінде де араб цифрларынан басқа, мысалы, рим цифрлары қолданылады, бұлар сағат циферблатында, кітаптың тарауларын т.с.с. белгілеу үшін пайдаланылады. 
5 сурет
Мәдениетінің дамуының алғашқы кезеңдерінде римдіктер саусақтарымен санаған, 1, 2, 3, 4 нәрсе туралы айтпақшы болғанда 1, 2, 3, 4 саусақтарын көрсеткен, ал 5 нәрсені көрсетпекші болғанда бір қолын, 10 нәрсені көрсетпекші болғанда екі қолын көрсететін болған. Тақта немесе пергамент бетіне бір санды жазып көрсетпекші болғанда, ол санның үлкенді-кішілігіне қарай саусақтардың немесе қолдардың кескінін салып көрсеткен, мысалы, I, II, III. Қолды кескіндеп көрсету үшін басбармақ пен сұқ қолдың кескіні ретінде бес санын екі сызықты аша – V түрінде салатын да, екі қол VV онды көрсететін, бірақ біраздан кейін екі қолдың кескінін былайша қатарынан салмай, бірінің үстіне бірін мынадай - етіп салатын болған, сөйтіп қазіргі Х цифры шыққан. Жүзді centum (жүз) деген сөздің бірінші әрпі С таңбасымен, ал мыңды mille (мың) деген сөздің бірінші әрібі М таңбасымен белгілеген. Елуді белгілеп көрсету үшін С әрпінің жартысын қолданып, сонан өзгере келе L таңбасы келіп шыққан. Бес жүз D, ал мың М әрпімен белгіленген. Сөйтіп, сандарды жазбаша белгілеп көрсету үшін мынадай жеті таңба алынған: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Егер I, немесе X, немесе С таңбасы онан үлкен санды көрсететін таңбадан кейін жазылса, онда қосу керек болады да, ал бұрын жазылса, шегеру керек болады (соңғы ереже тек І, X және С таңбалары жөнінде қолданылады). Мысалы, СХ түрінде жазғанда 110-ды көрсетіп, ХС түрінде тек 90-ды көрсетеді, сондай-ақ LХ = 60, ХL = 40 болады. Бірнеше мыңнан құралған санды белгілеп көрсету үшін, мыңдар санының үстіне сызықша қойылады немесе мыңдар санының оң жағына төменнен m әрпі жазылады. Мысалы, 15 000 былайша белгіленеді:  немесе ХVm . Сөйтіп, рим цифрларының ондық санау жүйесінің цифрларынан өзгешелігі – олардың мәні тек пішініне (кескініне) ғана байланысты болып, жазылған сандағы орнына байланысты болмайды. Мысалы, І цифры басқа цифрдың оң жағында тұр ма, сол жағында тұр ма – бәрібір әрқашан да тек жалғыз бірлікті ғана көрсетеді. Х цифры әрқашан да он санын көрсетеді. Рим цифрларының ішінде нольді көрсететін цифр болмағандығын байқаймыз.
Сандарды рим цифрларымен жазып көрсетейік: I=1, II=2, III=3, IV=4, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8, IX=9, X=10, XI=11, XIX=19, XX=20, XXIX=29, XLV=45, XCIV=94, CD=400, MCMXLV=1945, XIImDCXXIII=12 623 Рим жүйесі мынадай принципке негізделген: егер рим цифрлары қатарынан жазылса, онда олармен белгіленіп тұрған сан әрбір жеке цифрмен белгіленген сандардың қосындысына тең болады: ІІ=1+1=2, ХХХ=10+10+10=30. Бұл принципке тек мына алты сан ғана бағынбайды: IV=4, IX=9, XL=40, XC=90, CD=400, CM=900. Бұл белгілеулерде сол жақтағы цифрдың мәні оң жақтағы цифрдың мәнінен шегеріледі: мысалы, IV=5-1=4; CD=500-100=400 т.с.с. XVII ғасырдың ақырына дейін Ресейде сандарды жазып көрсету үшін, әдетте, славян алфавитінің әріптерін қолданып келген. Тек бірен-саран кітаптарда ғана араб цифрлары кездесетін. Славян-орыс тілінде басылып шыққан шығармаларда цифрлар 1611 ж. басылып шыққан славян кітаптарының беттерін нумерациялағанда алғаш рет кездеседі. Бұған дейін ескі славян кітаптарында цифрлар славян алфавитінің әріптерімен белгіленген (6-сурет). Егер әріп дыбысты белгілемей, санды белгілейтін болса, онда әріп үстіне айрықша таңба (титло) қойылатын. 
6-сурет Ескі славян нумерациясы да рим нумерациясындағы принципке негізделген болатын: үстерінде титло таңбалары бар, қатарластырыла жазылған бірнеше әріп жеке әріптер көрсететін сандардың қосындысына тең санды бейнелеген. Сонда мыңнан кем, бірақ жиырмадан артық сандар қандай тәртіппен айтылатын болса, солай қарай, яғни сол жақтан оң жаққа қарай, жазылатын. Мысалы, 555 саны былай жазылады: 
10-нан артық, бірақ жиырмадан кем сандарды жазып көрсеткенде бірліктерді көрсететін әріптер ондықтарды көрсететін әріптерден бұрын жазылатын. Бұған қарағанда әріптер өздерінің айтылу тәртібімен жазылатындығын байқаймыз, мысалы, восемнадцать, пятнадцать. Бірнеше мыңдардан құралатын сандарды белгілеп көрсету үшін жоғарыда келтірілген әріптер қолданылып, олардың алдына ерекше таңба қойылатын. 3. Ондық жүйенің он цифрын пайдаланып басқа бір жүйедегі кез келген санды жазып көрсетуге болады, бұл үшін ол жүйенің негізі 10-нан кем болу керек. Мысалы, 786 санын бестік жүйе бойынша жазып көрсетейік. Әуелі 786 жай бірліктерден бестік жүйенің 2-ші разрядының неше бірліктерін құрауға болатындығын анықтайық, ол үшін 786-ны 5-ке, яғни жүйенің негізіне, бөлу керек:
бірінші қалдық: 1-разрядтың 1 бірлігі. Сонымен, біз бұл бөлуден 2-разрядтың 157 бірлігін және бірінші разрядтың 1 бірлігін таптық. Енді 2-разрядтың 157 бірлігінде 3-рязрядтың неше бірлігі болатындығын анықтайық, ол үшін 2-разряд бірліктерінің санын тағы жүйенің негізіне, яғни 5-ке, бөлуіміз керек екендігі анық.
2-қалдық: 2-разрядтың 2 бірлігі. 3-разряд бірліктерінің санын (31-ді) 5-ке бөліп, бөліндіде 4-разряд бірліктерінің санын, ал қалдықта 3-разряд бірліктерінің санын табамыз.
3-қалдық: 3-разрядтың 1 бірлігі. 4-разряд бірліктерінің санын (6-ны) 5-ке бөліп табатынымыз:
4-қалдық: 4-разрядтың 1 бірлігі. Сонымен, ондық жүйеде 786 болып белгіленген санда бестік жүйе бойынша: 5-разрядтың 1 бірлігі, 4-разрядтың 1 бірлігі, 3-разрядтың 1 бірлігі, 2-разрядтың 2 бірлігі және 1-разрядтың 1 бірлігі болады екен, яғни 11 121. Немесе былай жазуға болады
Бұдан мынадай ереже шығады: Ондық жүйенің санын басқа бір жаңа жүйенің санына айналдыру үшін, берілген санды жаңа жүйенің негізіне бөлу керек, бөліндіні жаңа жүйенің негізіне қайтадан бөлу керек, жаңа бөліндіні тағы да жаңа жүйенің негізіне бөліп, бөлінді жаңа жүйенің негізінен кем болып шыққанша осылайша бөле беру керек. Сонда бірте-бірте шығатын қалдықтар және ақырғы бөлінді таппақшы санымыздың разрядтық сандары болады. Қалдықтар соңғысынан бастапқысына қарайғы ретпен жазылады. Сан қандай нумерация жүйесі бойынша жазылғандығын белгілеп көрсету үшін, ол санның оң жағына төменнен жүйенің негізін жазады, мысалы: 11 1215 немесе 11 121v . Жоғарыда қаарастырылған мысалды былай жазуға болады: 78610=111215 . Кері жағдай. Сегіздік жүйе санын ондық жүйе санына айналдыру керек болсын: 0758 = х10 . Сегіздік нумерация жүйесінде 5-разрядтың бірлігі 4-разрядтың 8 бірлігіне тең болатындықтан, 5-разрядтың 3 бірлігі 4-разрядтың 8 . 3 = 24 бірлігіне тең болады: 4-разрядтың 24 бірлігіне берілген санның 4-разрядының 2 бірлігін қосамыз, сонда 4-разрядтың 24 + 2 = 26 бірлігі шығады. Жүйенің негізі 8-ді 26-ға (4-разрядтың бірліктерінің санына) көбейтіп, 3-разрядтың 8 . 26 = 208 бірлігін табамыз. Берілген санда 3-разрядтың разрядтық саны 0, демек, 208 санына ештеңе де қосылмайды, оны бірден 2-разряд бірліктеріне ұсақтау керек (олар 8 . 208 = 1 664 болады). Бұған берілген санның 2-разрядының 7 бірлігін қосып, 2-разрядтың 1 664 + 7 = 1 671 бірлігін табамыз. Жүйенің негізі 8-ді 1671-ге көбейтіп, 1-разряд бірліктерінің санын табамыз, яғни 8 . 1 671 = 13 368. Бұған берілген санның 1-разрядының 5 бірлігін косып, 1-разрядтың 13 373 бірілігін табамыз. Демек, 
32 0758 = 13 37310 . Жазбаша амал былай орналастырылады: Бұдан мынадай ереже шығады; жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
86