Г. К. Уазырханова

 
185 
12  КВАНТТЫҚ   МЕХАНИКА 
 
12.1 Негізгі формулалар 
 
12.1.1 де Бройль толқын ҧзындығы                                                                 
       а) классикалық тҥрі (υ<<с) 
 

 = 
p
h
=

m
h
    немесе  
m
W
h
k
2


 
        
        б)  релятивистік жағдайда (υ~c) 
 

 = 
p
h
=
2
2
0
1
c
m
h



 
 
12.1.2  Микробӛлшектің энергиясы 
 
Е = mc
2      
немесе       Е = hν = ħω 
 
12.1.3  Микробӛлшектің импульсі 
 
                                        р = mυ     немесе      р = h/λ,      немесе    р = ħ·k = ħ·2π / λ 
 
12.1.4  Микробӛлшектің энергиясы және импульсі арасындағы байланыс 
        а) классикалық тҥрі (υ<<с) 
 
р =
к
W
m
0
2
 
       
       б) релятивистік жағдайда (υ~c) 
 
р = 


с
W
W
c
m
к
к

2
0
2
, 
 
 
12.1.5   Анықталмағандық қатынастары                                    
       а) координата мен бӛлшек импульсі ҥшін                                                       
         
 
 

 x 

 

 р
х
  

 

 
                                                          

у 
.
 

 р
у
  

  

 
                                                          

z 
.  

р
z
   

  

 
       

 
186 
       б) энергия мен қуат ҥшін                                                                  
         

 Е

 t 

 

 
 
12.1.6  Шредингер теңдеуінің жалпы тҥрі 
 
 










z
y
x
U
m
t
i
,
,
2


 
 
12.1.7 Стационар кҥйлер ҥшін Шредингер теңдеуі 
 
                                         


0
2
2






U
E
m

 
 
12.1.8  Микробӛлшектің  элементтің  dV  кӛлемінен  табылу  ықтималдылығының 
тығыздығы  
dw = 


2
,
,
z
y
x
dV
dW


 
 
12.1.9  Толқындық функцияны нормалау шарты 
 
                                                         





1
2
dV

  
 
12.2 Есеп шығару үлгісі 
 
12.2.1  1  есеп.    Бастапқы  жылдамдығы  нӛлге  тең  электрон  U  ҥдетуші 
потенциалдар  айырмасын  жҥріп  ӛткен.  Егер  потенциалдар  айырмасы:               
1)  U  =  51В;  2)  U=510  кВ  болса,  электрон  ҥшін  де  Бройль  толқынының 
ҧзындығын анықтаңыздар. 
 
Берілгені: 
υ
0
 = 0 
1) U =51В 
2) U=510 кВ 
   
Шешуі: Микробӛлшек ҥшін де –Бройль толқынының 
ҧзындығы  оның  импульсіне  тәуелді  және  мына 
формула бойынша анықталады: 
                 
p
h


  ,                                           (12.1) 
λ
1
 – ?  λ
2
 – ? 
мҧндағы  h – Планк тҧрақтысы. 
Бӛлшектің импульсін оның W
к
 кинетикалық энергиясы арқылы анықтауға 
болады.  Релятивистік  емес  (бӛлшектің  кинетикалық  энергиясы,  оның 
тыныштықтағы  энергиясынан  кӛп  кіші)  және  релятивистік  (бӛлшектің 
кинетикалық  энергиясы  оның  тыныштықтағы  энергиясына  жуық)  жағдайлар 
ҥшін импульс пен кинетикалық энергия арасындағы байланыс әртҥрлі.  
Релятивистік емес жағдайда  
 

 
187 
                                        
k
W
m
p
0
2

 
                                      (12.2) 
 
мҧндағы: m
0
 – бӛлшектің тыныштықтағы массасы  
Релятивистік жағдайда 
 
                                
c
W
W
E
p
k
k
)
2
(
0


 
 
                           (12.3) 
 
мҧндағы E
0
 = m
0
 c
2
 – бӛлшектің тыныштықтағы энергиясы.  
 (12.2)  және  (12.3)  теңдіктерін  ескеретін  болсақ,  онда  (12.1)  формула  былай 
жазылады  
релятивистік емес жағдайда  
 
                             
k
W
m
h
0
2


                                                      (12.4) 
 
 
релятивистік жағдайда  
 
                                  
K
k
W
W
E
c
h
)
2
(
1
0



                                  
   (12.5) 
 
 
Есептің  шартында  берілген  U=51В  және  U=510  кВ    потенциалдар 
айырмасынан  жҥріп  ӛткен  электронның  кинетикалық  энергияларын  оның 
тыныштықтағы энергиясымен салыстырып, және оның нәтижесіне байланысты 
(12.4)  және  (12.5)  формулаларының  қайсысын  де  Бройль  толқынының 
ҧзындығын есептеуге қолдану керектігін шешеміз.  
 
U  ҥдетуші  потенциалдар  айырмасын  жҥріп  ӛткен  электронның 
кинетикалық энергиясы  
eU
W
k

 
 
Бірінші  жағдайда  W
k1
=eU
1
=51эВ=0,51∙10
-4
  МэВ,  бҧл  электронның 
тыныштықтағы  энергиясы  E
0
=m
0
c
2
  =0,51  МэВ-ан  кӛп  кіші.  Сондықтан  бҧл 
жағдайда  (12.4)  формуланы  қолдануға  болады.  Есептеулерді  жеңілдету  ҥшін  
W
k1
=10
-4
m
0
c
2
 деп аламыз. Осы ӛрнекті (12.4) формулаға қойып, оны мына тҥрде 
жазамыз  
           
c
m
h
c
m
m
h
0
2
2
0
4
0
1
2
10
10
2






                            (12.6) 
      Ӛлшем бірліктерін тексереміз: 
 
                                             [λ] = 
м
с
м
кг
с
м
кг
с
м
кг
с
Дж








2
2
2
/
   

 
188 
 
(12.6)  формуласына  сандық  мәндерін  қойып  және  1-кестені  пайдаланып 
есептеулер жҥргізміз: 
                                    
                              

1
=
8
31
34
2
10
3
10
1
,
9
2
10
62
,
6
10








м =0,172
.
10
-9
 м = 172пм. 
  
 
Екінші жағдайда кинетикалық энергия W
k2
=eU
2
=510 кэВ=0,51 МэВ, яғни 
электронның  тыныштықтағы  энергиясына  тең.  Бҧл  жағдайда  (12.5) 
релятивистік  формуланы  қолдану  қажет.  W
k2
=0,51МэВ=m
0
  c
2
  ескере  отырып 
(12.5) формуласы бойынша мынаны табамыз:  
 
c
m
h
c
c
m
c
m
c
m
h
0
2
2
0
2
0
2
0
2
3
)
2
(




       
 
Сандық мәндерін қойып, есептеулер жҥргіземіз:  
                                     
                                          

2 
= 
8
31
34
10
3
10
1
,
9
3
10
62
,
6







м = 1,40 пм. 
 
   
Жауабы: λ
1
 = 172 пм, λ
2
 = 1,40 пм  
 
12.2.2 2 есеп. Сутегі атомындағы электронның W
k
 кинетикалық энергиясы 
10 эВ шамасында. Анықталмағандық қатынастарын қолдана отырып, атомның 
ең кіші сызықтық ӛлшемдерін бағалаңыздар.  
 
Берілгені: 
W
k
=10эВ=1,6∙10
-18
Дж 
 
Шешуі: 
Координата 
мен 
импульс 
 
ҥшін 
анықталмағандық қатынастары мына тҥрге ие: 
                        





p
x
,                                      (12.7) 
ℓ
min
 - ? 
мҧндағы:  
 
 
 
 
      Δx – бӛлшек координатасының анықталмағандығы  
 
 
 
 
     Δр – бӛлшек импульсінің анықталмағандығы  
 
 
 
 
      

 – келтірілген Планк тҧрақтысы.  
 
Анықталмағандық  қатынастары  кӛрсеткендей,  бӛлшектің  кеңістіктегі 
орны 
неғҧрлым 
дәлірек 
анықталса, 
соғҧрлым 
оның 
импульсінің 
анықталмағандығы  жоғары  болады.  Егер  атомның  сызықтық  ӛлшемін  ℓ  деп 
алсақ,  онда  атомдағы  электрон  координатасының  анықталмағандығы  мынаған 
тең болады: 
                                                     
2



х
                                             (12.8) 
 

 
189 
Осыдан (12.7) анықталмағандық қатынасын былай жазамыз  
 
                               




р
2
,            бҧдан             
p




2
 
 
  (12.9)  
 
Физикалық  жағынан  қарастыратын  болсақ,  онда  Δр  –  импульстің 
анықталмағандығы  p  -импульстің  ӛз  шамасынан  артпауы  тиіс,  яғни  Δр  ≤  p.  
(12.9) ӛрнегіне сәйкес 

р ең ҥлкен мәніне жететін болса, онда l ең кіші мәніне 
жетеді, яғни 

р= р. Сондықтан      
                                         
                                                 l
min
 = 2

 /р                   
 
 
р  импульс пен W
k
 кинетикалық энергия арасындағы байланыс бойынша:  
 
                                                       
k
mW
p
2

, 
 
Осыдан   
                                           
k
mW
2
2
min



                                   (12.10) 
 
(12.10) формуласындағы физикалық шамалардың ӛлшем бірліктерін тексереміз: 
 
   
м
с
м
кг
кг
с
с
м
кг
Дж
кг
с
Дж









2
2
min

 
 
Сандық мәндерді орындарына қойып, есептеулер жҥргіземіз:  
 
10
18
31
34
min
10
24
,
1
10
6
,
1
10
1
,
9
2
10
05
,
1
2














м=124пм 
 
Жауабы: ℓ
min
 = 124 пм 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
190 
13  ЯДРОЛЫҚ ФИЗИКА   
 
13.1  Негізгі формулалар 
 
13.1 Ядроның массалық саны (ядродағы нуклондар саны)              
 
                                                     А= Z+ N, 
         
         мҧндағы Z – протондар саны ( зарядтық сан),  N – нейтрондар саны  
 
13.2 Радиоактивтіліктің ыдырау заңы               
 
                                                       N = N
0
 e 
- 

 t
 
 
13.3  

t  уақыт ішінде ыдыраған  


  ядролар саны      
  
        а) 

t 

 Т
1/2  
                               
 
                                              


 

 

0
 - 

 = 

0
 (1 – e 
- 

 t
) 
     
       б) 

t

 Т
1/2
                                
                                                        


 = N

 

t 
 
13.4  Жартылай  ыдырау  периоды    Т
1/2 
  мен  радиоактивтіліктің  ыдырау 
тҧрақтысы  

 арасындағы байланыс  
 
                                                          T
1/2
 = 


693
,
0
2
ln

 
 
13.5 Радиоактивті ядроның орташа ӛмір сҥру 

  уақыты, яғни ыдырамай қалған 
ядролардың саны е есеге азаятын уақыт  
 
                                                                     

 = 

1
 
 
13.6  Массасы  m және  мольдік  массасы  М  болатын  радиоактивті  изотоптағы             
         N атомдар саны   
                                  
N = 
,
M
mN
a
 
 
 мҧндағы   N
а
 – Авогадро саны 
 
 

 
191 
13.7  Бастапқы    уақыт  мезетіндегі  активтілігі  А
0
  болатын  радиоактивті 
изотоптың  А активтілігі  
 
                                     А= -
dt
dN
=

             немесе          А=

 N
0 
e
-λt
 = A
0
 e
-λt 
 
 
13.8 Изотоптың меншікті активтілігі           
 
                                                                    а = А / т             
 
13.9  Зарядтық    саны    Z    және    массалық  саны  А    болатын  ядроның  массалар  
ақауы 
 
                  

m=Z m
p
 + (А – Z) m
n 
– m
я 
    немесе      

m = Zm
H
 + (А – Z) m
n 
– m
a
 
 
13.10 Ядроның  байланыс энергиясы     
 
                                                               

E = c
2
 

m,      
 
         мҧндағы с – вакуумдегі жарық жылдамдығы 
 
13.11  Егер  ядроның  массалар  ақауы    Δm  –  м.а.б.    байланыс  энергиясы                     


бай
  –МэВ,   
931
2

c
 МэВ/ м.а.б   ӛрнектелсе, онда   
 
                                                                

Е=931

m. 
 
 
13.2  Есеп шығару үлгісі 
 
13.2.1    1  есеп.    Литий 
 
    Li
7
3
  ядросының  Δm  массасының  ақауын  және  ΔE
0
 
меншікті байланыс энергиясын есептеңіздер.  
 
 
Шешуі: Ядроның массасы, қашанда ядроны қҧрайтын бос протондар мен 
нейтрондар массаларының қосындысынан аз. Ядроның массалар ақауы Δm, ол 
бос нуклондар (протондар мен нейтрондар) массаларының қосындысы мен ядро 
массасының арасындағы айырмаға тең, яғни  
 
                          
я
n
p
m
m
Z
A
m
Z
m






)
(
                                  
(13.1) 
 
мҧндағы: 
Z – атомның номері (ядродағы протондар саны)  
 
А – массалық сан (ядроны қҧрап тҧрған нуклондар саны)  
 
m
р
, m
n
, m
я
 – сәйкес протон, нейтрон және ядроның массалары. 
  

 
192 
           Анықтама  кестелерде  ядроның  емес,  нейтрал  атомдардың  массалары 
беріледі,  сондықтан  (13.1)  формуласын,  оған  m
а
    нейтрал  атомының  массасы 
кіретіндей  етіп  тҥрлендіреміз.  Нейтрал  атомның  массасы,  атомның 
электрондық  қабықшасын  қҧрап  тҧрған  электрондар  мен  ядроның 
массаларының қосындысына тең  
 
e
я
a
Zm
m
m


 
бҧдан                                             
e
a
я
Zm
m
m


                                  
 (13.2) 
 
 
(13.1)  теңдіктегі  ядро  массасын  (13.2)  формуласы  арқылы  ӛрнектеп,  мынаны 
табамыз  
 
e
a
n
p
Zm
m
m
Z
A
Zm
m






)
(
 
немесе                       
a
n
е
p
m
m
Z
A
m
m
Z
m






)
(
)
(
 
мҧндағы:    
 
m
р
 + m
e
 = m
H
,  
m
H
  - сутегі атомының массасы 
 
осыдан  
 
 
 
                                       Δm = Zm
H 
+ (A – Z)m
n
 – m
a
                             (13.3) 
 
 
(13.3) ӛрнегіне массалардың сандық мәндерін қойып, мынаны табамыз.  
 
 
Δm = [3∙1,00783+(7-3)∙1,00867-7,01601] м.а.б = 0,04216 м.а.б  
 
Масса мен энергияның  пропорционалдық заңына сәйкес  
 
                                             
m
c
E



2
 
                                          (13.4) 
 
мҧндағы: с – вакуумдегі жарық жылдамдығы  
 
Пропорционалдық коэффициенті с
2
 былай жазылады: 
 
16
2
10
9





m
E
с
 Дж/кг     немесе     c
2
 = 9∙10
16  
м
2
/c
2
 . 
 
 
Егер  байланыс  энергиясын,  жҥйелік  емес  ӛлшем  бірліктері  арқылы 
есептесек, онда c
2
 – 931 МэВ/ м.а.б   
 
Осыны ескере отырып (13.4) формуласы мына тҥрге ие болады  
 

 
193 
 
 
 
 
ΔE = 931Δm (МэВ)  
 
                     (13.5)  
 
 
Ядродағы нуклондардың меншікті байланыс энергиясы деп, бір нуклонға 
келетін ядроның байланыс энергиясын айтамыз, яғни  
 
 
A
E
E



0
. 
 
Осыдан (13.5) формулаға сәйкес:       
 
                            
A
m
E



931
0
(МэВ)                                        (13.6) 
 
 
Масса  ақауының  табылған  Δm  =  0,04216  м.а.б  мәнін,  Li
7
3
  ҥшін  A=7 
массалық санын орынына қойып есептеулер жҥргіземіз: 
  
7
,
4
7
04216
,
0
931
0




Е
Мэв 
 
Жауабы: Δm = 0,04216 м.а.б,  ΔE
0
 = 4,7 МэВ  
 
13.2.2    2  есеп.  Массасы  m=0,2  мкг  радиоактивті 
Mg
27
12
  магний 
преператының  бастапқы  А
0 
активтлігі  мен  t=6сағ  уақыт  ӛткеннен  кейінгі                   
А  активтілігін  анықтаңыздар.  Магнийдің  жартылай  ыдырау  Т
1/2
  периоды                 
10 мин.  
 
Берілгені: 
Mg
27
12
 
m =0,2 мкг =0,2 

10
-9
кг 
t = 6сағ= 2,16

10
3
с 
Т
1/2 
=10мин = 600с 
 
       Шешуі: 
Изотоптың 
А 
активтілігі 
радиоакивтіліктің ыдырау жылдамдығын сипаттайды 
және  ол dt уақыт  аралығында ыдыраған dN ядролар 
санының  осы  уақыт  аралығына  қатынасы  арқылы 
анықталады:  
                               А=- 
dt
dN
 .                                    (13.7) 
  А
0
-?    А -? 
«-» таңбасы радиоактивті ядролардың N саны уақыт ӛте келе кеми бастайтынын 
кӛрсетеді.  
dt
dN
- ӛрнегін табу ҥшін радиоактивтіліктің ыдырау заңын қолданамыз:   
                
                                                  N=N
0 
e
-

t
,                                                   (13.8) 
 
мҧндағы  N  –  изотоптағы  t  уақыт  мезетіндегі  радиоактивті  ядролар  саны;                 
N
0 
–бастапқы  уақыт  (t=0)  мезетіндегі  радиоактивті  ядролар  саны;                                 

 - радиоактивтіліктің ыдырау тҧрақтысы. 
(13.8) ӛрнегінен уақыт бойынша туынды алатын болсақ: 

 
194 
                                         
                                                     
dt
dN
= - 

 N
0 
e
-λt
,                                              (13.9) 
 
(13.7)  және  (13.9)  формулаларынан 
dt
dN
ӛрнегін  алып  тастап,  препараттың      
t уақыт мезетіндегі активтілігін табамыз:   
     
                                               А= 

 N
0 
e
-λt
                                                  (13.10) 
 
Препараттың t=0 уақыт мезетіндегі А
0
 бастапқы активтлігі;  
  
                                                           А
0
=

 N
0                     
                                      (13.11) 
 
Жартылай  ыдырау  периоды    Т
1/2 
  мен  радиоактивтіліктің  ыдырау 
тҧрақтысы  

 арасындағы байланыс мына формула бойынша анықталады  
                                                        
                                                       

 = 
2
/
1
2
ln
T
 .                                             (13.12)       
 
Изотоптағы  радиоактивтік  ядролардың  N
0 
саны  N
A   
Авогадро  тҧрақтысын            

  зат мӛлшеріне кӛбейткенге тең:  
 
                                                       N
0  
= 

 N
A 
= 

m
N
A
 ,                                     (13.13) 
 
мҧндағы m- изотоптың массасы;  μ-мольдік масса. 
(13.12) және (13.13) ӛрнектерін ескеретін болсақ, онда  (13.10) және (13.11) 
формулалары мына тҥрге келеді  
 
                                                              А
0 
= 

m
2
/
1
2
ln
T
N
A
                                       (13.14)             
                                                             А = 

m
2
/
1
2
ln
T
N
A 
t
e
T
2
/
1
2
ln

                                            
 (13.15)  
 
Физикалық шамалардың ӛлшем бірліктерін тексереміз: 
 
                                                    [A] =[A
0
]=
с
моль
кг
моль
кг





1
1
=с
-1
= Бк 
 
μ = 27

10
-3
 кг/моль екенін ескеріп, есептеулер жҥргіземіз 
                     

 
195 
                             А
0
=
3
9
10
27
10
2
,
0




600
693
,
0

 6,02

10
23 
Бк = 5,13

10
12
 Бк = 5,13 ТБк. 
 
                            А=
3
9
10
27
10
2
,
0




600
693
,
0

 6,02

10
23

4
10
16
,
2
600
693
,
0



e
Бк =81,3 Бк  
 
Жауабы:        А
0
= 5,13 ТБк,        А=81,3 Бк  
 
 
13.2.3  3  есеп. 

-бӛлшек  пен  бор 
В
10
5
  ядросының  соқтығысу  кезінде 
ядролық реакция  пайда болып және оның нәтижесінде екі жаңа ядро тҥзіледі. 
Осы  ядролардың  бірі 
Н
1
1
  сутегі  атомының  ядросы.  Екінші  ядроның  реттік 
номері  мен  массалық  санын  анықтаңыздар.  Ядролық  реакцияның  ӛрнегін 
жазып, оның энергетикалық әсерін анықтаңыздар. 
 
 Шешуі: Белгісіз ядроны 
Z
Х
А
 символымен белгілейміз.  

 - бӛлшектер 
2
Не
4 
гелийдің ядросы болып табылғандықтан, реакция ӛрнегі мына тҥрге ие болады  
                                         
                                                   
2
Не
4
 + 
5
В
10

 
1
Н
1
+ 
Z
Х
А
. 
 
Нуклондар санының сақталу заңын қолданып, мына теңдеуді аламыз  
 
 
                       
4+10 =1+А, 
осыдан А=13. 
Зарядтың сақталу заңын қолданып, мына теңдеуді аламыз 
 
2 + 5 = 1+ Z, 
 
осыдан Z=6. Сондықтан белгісіз ядро 
6
С
13 
кӛміртегі изотопы атомының ядросы 
болып табылады. Енді ядролық реакцияның соңғы тҥрін жазамыз: 
 
 
               
2
Не
4
 + 
5
В
10

 
1
Н
1
+
6
С
13
. 
 
Ядролық  реакцияның  Q  энергетикалық  әсері  мына  формула  бойынша 
анықталды  
 
                                          Q=931 [(m
He 
+m
B
) – (m
H 
+m
C
)]                          (13.16) 
 
Мҧндағы  бірінші  дӛңгелек  жақша  ішінде  есептің  шартында  берілген 
ядролардың массалары, екінші жақша ішінде реакция нәтижесінде пайда болған 
ядролардың массалары кӛрсетілген.  Осы формула бойынша есептеулер жҥргізу 
кезінде ядролар массасын нейтрал атомдар массасымен алмастырады.  Осындай 
алмастыру жасау мҥмкіндігі келесі тҧжырымдамалардан туындайды.  

 
196 
Нейтрал атомның электрондық қбықшасындағы электрондар саны оның  Z 
зарядтық  санына  тең.  Берілген  ядролардың  зарядтық  сандарының  қосындысы 
реакция  нәтижесінде  пайда  болған  ядролардың  зарядтық  сандарының 
қосындысына  тең.  Сондықтан  кӛміртегі  мен  сутегі  ядоларының  электрондық 
қабықшаларында  қанша  электрон  бар  болса,  гелиий  мен  бор  ядроларының 
электрондық қабықшаларында сонша электрон бар.  
Осыдан, гелий мен бор атомдары массаларының қосындысынан сутегі мен 
кӛміртегінің  нейтрал  атомдарының  массаларының  қосындысын  алып 
тастағанда  электрондар  массасы  шығады  да,  ядролар  массасын  алғандай 
нәтижеге ие боламыз. (13.16) формуласындағы физикалық шамалардың ӛлшем 
бірліктерін тексереміз:  
 
                                           [Q]=
.)
.
.
(
.)
.
.
(
б
а
м
б
а
м
МэВ
=МэВ. 
 
Есептеу  формуласына  анықтама  18-  кестеден  алынған  атомдар  массасын 
қойып, мынаны аламыз  
 
Q=931 [(4,00260 +10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] МэВ=4,06 МэВ. 
 
 
Жауабы: Z=6;    A=13;    Q = 4,06 МэВ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
197 
14  Ф И З И К А  II    БӚЛІМІ БОЙЫНША ӚЗ БЕТІМЕН ЖҦМЫС 
ІСТЕУГЕ АРНАЛҒАН ТЕСТІК ТАПСЫРМАЛАР 

жүктеу/скачать 2,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: