Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н
жүктеу/скачать 9,35 Mb. Pdf көрінісі
|
fz geometr 11
§ 12. Площадь сферы и ее частей 126. а) Как определяется площадь поверхности шара? б) Приращение объема какого тела представляет собой объем нор мального слоя, покрывающего сферический сегмент? 127. а) Площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от его центра на h, равна Q. Найдите площадь поверхности шара. б) Найдите площадь сферического сегмента, зная, что дуга осевого сечения содержит a° , а радиус основания равен r. в) Какой должна быть высота сферического сегмента, чтобы его площадь была в k раз больше площади его основания? Радиус шара ра вен R. г) Высота сферического пояса равна H, а радиусы оснований — r 1 и r 2 . Найдите его площадь. д) Найдите площадь сферического пояса, если высота его равна H, а дуги в осевом сечении сферы, стягиваемые диаметрами его основа ний, равны a и 3 a . — 177 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » е) Найдите площадь сферического пояса, зная радиус сферы R и уг лы a и b , под которыми видны из центра сферы соответственно диаметр меньшего основания и диаметр сечения, равноудаленного от оснований. ж) В шаровом секторе наибольший угол между боковыми радиуса ми равен a . Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности шаро вого сектора. 128. а) Сфера вписана в конус, у которого площадь боковой поверх ности равна Q, а угол между образующей и высотой равен a . Найдите площадь сферы. б) Около сферы описана прямая призма, основанием которой слу жит прямоугольный треугольник. Периметры двух меньших боковых граней равны 10 и 12. Найдите площадь сферы. в) Найдите площадь сферы, вписанной в шаровой сектор радиуса R, если наибольший угол между боковыми радиусами равен 90 ° . г) Найдите площадь сферы, описанной около куба, площадь поверх ности которого равна Q. д) Около сферы описана правильная треугольная призма. Можно ли узнать, во сколько раз площадь поверхности призмы больше площа ди сферы? е) Как относятся между собой площади трех сфер, если первая из них вписана в куб, вторая касается всех его ребер, а третья описана око ло этого куба? ж) Найдите площадь всей поверхности шарового сегмента с дугой a в осевом сечении, если площадь наибольшей сферы, принадлежащей шаровому сегменту, равна Q. з) Найдите отношение площади поверхности и объема шара соот ветственно к площади поверхности и объему описанного вокруг него конуса с равносторонним треугольником в осевом сечении. и) В прямом круговом конусе образующая равна l, а высота в k раз больше радиуса шара, вписанного в конус. Найдите отношение площа ди боковой поверхности конуса к площади поверхности шара, описан ного около этого конуса. к) Сфера касается всех боковых ребер правильной четырехуголь ной призмы и ее оснований. Найдите отношение площади поверхности сферы, лежащей вне призмы, к площади полной поверхности призмы. л) Найдите радиус основания и образующую цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего поверхность наибольшей площади. — 178 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » м) В сферу вписан конус, образующая которого наклонена к плос кости основания под углом a . Найдите площадь поверхности конуса, если площадь сферы равна Q. н) В шар вписан конус, имеющий наибольшую площадь боковой по верхности. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. 129. а) Какую часть земной поверхности обозревает космонавт, если высота орбиты корабля равна 1060 км? Радиус Земли считать рав ным 6370 км. б) Найдите площадь земной поверхности, которая расположена к северу от 40й параллели. 130. а) Докажите, что площадь поверхности и объем шара равны со ответственно 2 3 площади полной поверхности и объема цилиндра, опи санного около шара. (Это было доказано Архимедом и, по преданию, рисунок к этой теореме изображен на его гробнице.) б) Докажите, что площадь поверхности и объем шара равны соот ветственно 4 9 площади полной поверхности и объема описанного около шара равностороннего конуса. в) Докажите, что объемы шаров относятся как кубы их радиусов. г) Докажите, что площади сфер относятся как квадраты их радиусов. д) Докажите, что объем шара равен произведению площади его по верхности на треть радиуса: V = 1 3 SR. — 179 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » |