Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н
а) См. § 2. б) См. § 2. г) См. § 2. д) См. § 2. ж) См. § 2. 13
жүктеу/скачать 9,35 Mb. Pdf көрінісі
|
fz geometr 11
| 12. а) См. § 2. б) См. § 2. г) См. § 2. д) См. § 2. ж) См. § 2.
13. б) Справедливо. в) Воспользуйтесь тем, что поворот вокруг оси является движением. д) Можно. Воспользуйтесь одним из общих свойств движений. е) Рассмотрите три случая. 14. а) Останутся. 15. а) Ось поворота s строится как прямая, по которой пересекаются плоскости симметрии точек А и А 1 , В и В 1 (АВ и А 1 В 1 — данные отрез ки). Пусть плоскость, проходящая через точки А и А 1 перпендикулярно построенной прямой, пересекает эту прямую в точке О, а аналогичная плоскость, проходящая через точки В и В 1 , — в точке О 1 . Докажите, что Ð АОА 1 = Ð ВО 1 В 1 . Рассмотрите плоскости, проходящие через прямую s и точки В и В 1 , А и А 1 . б) Пусть прямая РМ (рис. 155) перпендикулярна к данным скрещивающимся прямым а и b и пересекает их, H — середи на отрезка РМ. На прямых а и b отложим равные отрезки РА и МА 1 , точ ки А и A 1 соединим отрезком, О — середина этого отрезка. Через точки Н и О проведем прямую s. Докажем, что при симметрии относительно этой оси прямая а переходит в прямую b. Проведем через точку М пря мую a 1 || a. Через прямые b и а 1 проведем плоскость a . Ясно, что PM ^ a . Пусть А 0 — ортогональная проекция А на плоскость a , А 0 Î a 1 . Нетруд но доказать, что точка О ортогонально проектируется на плоскость a в точку С, лежащую на биссектрисе l угла, образованного прямыми b и a 1 . Тогда l ^ AA 0 и l ^ А 0 А 1 . Отсюда получаем, что l ^ АА 1 . После того как будет доказано, что l || s, получаем: s ^ АА 1 . Итак, при симметрии относительно прямой s точка А переходит в точку А 1 . Это только часть — 181 — Рис. 155 © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » доказательства. Аналогично можно построить на данных прямых а и b точки В и В 1 (РВ = МВ 1 ), взять середину O 1 отрезка ВВ 1 , провести через точки Н и O 1 новую прямую m; на основании предыдущего точки В и В 1 симметричны относительно прямой т. Но совпадают ли прямые т и s? Докажем, что они совпадают. В самом деле, совпадение этих прямых следует из того, что они принадлежат двум одним и тем же плоскостям: плоскости симметрии точек Р и М и плоскости, проходящей через РМ и l. После этого доказательство можно считать законченным. Проведи те это доказательство полностью. Возможен другой способ. Он менее нагляден, но зато несравненно проще. Идея его усматривается из пре дыдущего доказательства, в котором было установлено, что ось сим метрии s находится как прямая, по которой пересекаются плоскость симметрии точек Р и M и плоскость симметрии прямых b и а 1 . Действи тельно, при симметрии относительно первой плоскости прямая а пере ходит в прямую а 1 , а при симметрии относительно второй — прямая а 1 переходит в прямую b. В итоге прямая а переведена в прямую b. Не трудно видеть, что указанные две плоскости взаимно перпендикулярны. Поэтому последовательное выполнение двух симметрий относительно этих плоскостей дает осевую симметрию с осью — линией пересечения плоскостей симметрии. Таким образом, искомая ось симметрии стро ится как прямая пересечения двух указанных плоскостей симметрии. 16. а) Верно. б) 9 осей симметрии: 6 осей, проходящих через середи ны его противоположных ребер, и 3 оси, проходящие через центры про тивоположных граней. жүктеу/скачать 9,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|