I. «КӨпжақтар» тақырыбын зерттеудің теориялық негіздері

Ежелгі математиктердің дәстүріне сәйкес, барлық көпбұрыштардың ішінде дұрыс көпжақтар ең жақсысы болып табылады.

1.2 Көпжақты анықтау тәсілдері

Көпжақ ұғымының анықтамасы геометрия курсының негізгілерінің бірі болып табылады. Көпжақтар өздерінің қызықты қасиеттерімен, әдемі пішіндерімен ерекшеленеді. көпжақтар теориясы геометриядағы теориялық зерттеулер үшін де, алгебра, сандар теориясы, жаратылыстану ғылымдары және т.б. сияқты математиканың әртүрлі салаларындағы практикалық зерттеулер үшін де өте маңызды.

Мектептегі геометрия курсында көпжақтар ұғымында ең маңызды екі кіріспе әдісі қарастырылады: 1) көпжақ бет ретінде 2) көпжақ дене ретінде.

Негізінен екінші әдіс қолданылады.

Мектептегі көпжақ ұғымы туралы толық анықтама беру қиын, өйткені анықтамада шектелу, беттік, ішкі нүктелер және т.б. сияқты ұғымдар бар.

Оқушының көрнекі бейнелеріне негізделген сипаттама берсеңіз, өте ұтымды болары сөззіз. Көпжақтарды көпбұрыштардан тұратын дене ретінде қарастыру оңай. Осының бәрімен «денені» және «бетті» визуалды мағынада түсінуге болады. Осыған байланысты, бұл анықтаманы келесі түрде қайта құруға болады: көпбұрыш - бұл көпбұрыштардың шектеулі санымен құрылған кеңістіктің бөлігі.

Кеңістікке және жазықтыққа қатысты қарапайым анықтамаларды қарастырайық.

Фигура - көптеген нүктелер.

Егер фигураға тиесілі болса да, оған жатпайтын нүктелер болса, нүкте берілген фигураның шеткі нүктесі деп аталады.

Фигураның шеткі емес нүктесі ішкі нүкте деп аталады.

Фигураның барлық шеткі нүктелерінің жиыны оның шеті деп аталады, ал оның барлық ішкі нүктелерінің жиынтығы іші деп аталады.

Шенелген аудан - бұл келесі қасиеттері бар нүктелер жиынтығы:

1) оның ішкі нүктелері бар, және оның ішкі жағы байланысты.

2) оның шекарасы болады және оның ішкі шекарасымен сәйкес келеді.

Енді көпбұрыш пен көпжақтың анықтамасын қарастырайық. Көпбұрыш - жазықтықтағы кез келген тұйық сынық сызық. Сынық сызықтың әрбір бөлігі көпбұрыштың қабырғасы, ал олардың ұштары көпбұрыштың төбелері деп аталады. Егер сынық сызық қарапайым болса, онда көпбұрыш қарапайым көпбұрыш деп, ал күрделі болса, жұлдыз тәрізді көпбұрыш деп аталады.

Көпжақ дегеніміз - шекарасы (беті) шексіз көпбұрыштардан тұратын ақырлы өлшемді дене. Бұл анықтама визуалды бейнелерге негізделген анықтаманы алады, бірақ қазіргі уақытта бет пен дене туралы ұғымдар тек визуалды ғана емес, сонымен бірге жоғарыдағы анықтамаларға сәйкес қарастырылады.

Жоғарыда айтылғандай, көпбұрыш көпбұрыштармен шектелген дене емес, көпбұрыштардан тұратын бет. Сөздерді қолданудың бұл түрі мектеп геометрия курсында байқалмайды. «Көпжақтарды» әр түрлі мағынада түсінгенде анықтамалардың шатасуы орын алады. Мәселен, біз «кубтың жазбасын желімдейміз» дегенді естігенде, біз денені емес, беткі қабатты білдіреміз.

Бір сөздің әр түрлі, бірақ бір-біріне жақын мағынадағы ұқсас сөздерін геометрияда жиі кездестіруге болады. Бұрыш дегеніміз - екі сәуледен тұратын жазықтықтың бөлігі.. Көпбұрыш сонымен қатар сынған сызық деп аталады және т.б.

3) Егер сіз мыналарды қарастыратын болсаңыз, сіз көпжақ ұғымының басқа анықтамасын зерттей аласыз: бір-біріне жақын орналасқан немесе көп қырлы кескіннің беті немесе кесектері бойымен орналасқан көпбұрыштан құралған фигура көпбұрыштың өзі болып шығады, сондықтан қарапайым көпбұрыш өздігінен күрделі бола алады. Бұл ескертуді нақтылауға болады және одан көпжақтың жаңа тұжырымдамасын алуға болады, оны қарапайым көпбұрыш тетраэдрлерден бастауға болады. Атап айтқанда, теорема орындалады.

Теорема. Тетраэдрлерден құралған кез келген дене -көпжақ және әр көпжақты тетраэдрлерге бөлуге болады немесе тиісінше, тетраэдрлерден құруға болады.

Нақты түрде және дене терминін қолданбай, осы теореманы былайша айтуға болады:

Фигура - бұл тетраэдрдің ақырғы санынан тұруы мүмкін болған жағдайда ғана көпжақ:

1) әрбір екі тетраэдрдің ортақ нүктелері жоқ, немесе бір ғана ортақ төбесі немесе бір ортақ қыры немесе бір ортақ беті бар;

2) әр тетраэдрден әрқайсысына бір-біріне бүкіл беткейлермен қатарласқан тетраэдрлерден өтуге болады.

Бұл теорема 1, 2) шарттар қанағаттандырылатындай етіп, көпбұрышты тетраэдрден тұратын фигура ретінде анықтауға мүмкіндік береді.

4) Көпжақтарды анықтауға тағы бір көзқарас В.Болтянскийдің «Elementary Geometry» нұсқаулығында келтірілген, ол геометрияның Вейль векторлық аксиоматикасына негізделген. Бұл әдіс мектеп оқулықтарында қарастырылмаған [7].

Бұл тәсілдегі призма, пирамида, тетраэдр және т.с.с. сияқты көпжақ ұғымдары, шын мәнінде, мектеп курсындағы тұжырымдамалардан өзгеше емес, бірақ бұл әдіс басқа аксиоматика негізінде ең қызықты.

Көпжақтың анықтамасын әртүрлі әдіс-тәсілдермен қарастыруға болатындығын ескеріңіз. Көпжақ ұғымы сипаттамамен де, конструктивті анықтамамен де берілуі мүмкін; визуалды бейнеге негізделген анықтамамен де; көпжақтарды дене және бет ретінде анықтауға болады.

Дөңес және дұрыс көпжақ ұғымдарын енгізген кезде бірнеше әдістер мен тәсілдер де болады.