И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова
§2. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
жүктеу/скачать 10,32 Mb. Pdf көрінісі
|
Р устюмова 2005
§2. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Запись условий задачи в виде системы уравнений (через и q) Ь4 +Ь>= 24, Ь6- Ь А = 24, s n = m ; г - ? 'Ь,+Ь4 13 Ь2 +Ьъ 4 ’ А, = 3 2 ; Ь\ ~ ? 2. Ьг +Ь} = 3 (Ьг +Ь4); п - П 3. 4 А = 2 , Д, = 1024, 5Л = 2046; я - ? , 9 - ? 5. + b-y + 63 — 70, Ь\'Ь2 Ь} = 8000; М ~ ? 6. г>3 -г>! = 9, 62 - 64 = 18; А Л Л А - ? * , Л = 2 7 , + 6} = 12; b2 + b , - l Использование свойств геометрической прогрессии 8 . />7 = 2 ; П и - ? 9. При каких значениях а тройка чисел 1, л / 2 - а , За2 образует гео метрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии Нестандартные задачи Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 . S„ = 4-(3" —1); М - ? f5,o„ - 5 |00 = 12, I , I К» 100 5 9 _ ? [Я’> 12 *» + А» _ j3- Su 0 s„ 13. 5-1,5 = ■Эй.—? 14. by by +/), + 63 + ... = 56, i," +&г + ... = 448; 15. — + x + x + ... + X + ... = —, x- 16 I +! +! j b ? Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии П . а , Ь , с - арифметическая прогрессия с разностью 4; а, Ь, с + 8 - геометричес кая прогрессия, а, Ь, с - 1 18. в], а2, а3 — арифметическая прогрессия; + а2 + а3 = 15; вр а2 + I, а3 + 5 - геометрическая прогрессия, а, • а2 • а , — ? 19. 6j, й2, — геометрическая профессия; 6,, 262, - арифметическая про грессия. q 343 Решение задач составлением системы уравнений При решении задач на геометрическую прогрессию часто бывает удобно вместо стандартной записи членов прогрессии bl,b2,bi ... употреблять запись by, bxq , bxq2... - эта форма явно показывает, что выписанные члены образу ют геометрическую прогрессию и зависят от двух параметров Ьх и q. Стандартным методом решения заданий, связанных с геометрической прогрес сией, является запись условий задачи в виде системы уравнений через Ьх и q. Рассмотрим ряд примеров. 1. Задание: Найдите число членов геометрической профессии, в которой ^4 +Ь5 = 24, Ьь - Ь л = 2 4 , Sn = 127. Решение: {b4 +bs = 24, j V + V 7 4 =24, \bxq \ \ + q) = 2A, [66 - 6 4 = 24; \b lqi — b{q3 = 24; \bxq \ q 2 - 1 ) = 24. Разделим второе уравнение на первое: icsS* q + 1 q - 1 = 1 ; <7 = 2, A, =1. Т.к. Sn = 127, получим уравнение: 1 2 7 - ' - g - P ; 2-1 2" = 128; л = 7. Ответ: n= 7. 2. Задание: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если Ь2+Ьг =3(Ьг +Ь4). Решение: b2+b} =3(b} +b4); b}q + btq2 = 3 ^ 2+biqi ); biq(\+ q) = 3b#2(\ + q); Геометрическая прогрессия 1 = 3 q; 1 Ответ: q = - . 3 344 3. Задание: В геометрической прогрессии Ь} = 2, bn = 1024, Sn = 2046. Най дите число ее членов и знаменатель. Решение: При решении этой задачи удобнее воспользоваться формулой суммы в виде S' = <7-1 Этим мы избежим громоздкого решения системы уравнений. 2046 = - ° 2 4 ' 9 ~ 2 ; <7-1 1022^ = 2044; q = 2 ; ь ; Щ ^ - 1024 = 2-2*''; 1024 = 2"; л = 10. Ответ: л = 10, < 7 =2. 4. Задание: Сумма первого и четвертого членов убывающей геометри ческой прогрессии относится к сумме второго и третьего членов этой же про грессии, как 13:4. Найдите первый член прогрессии, если ее третий член равен 32. Решение: Ьх +ЬЛ 13 Z?, +blq1 13 1 + q* 13 l-<7 + ^2 13 ,? ■ + 1 JS - •О + _S 3- * 4 j 1 q(l + q) 4 ’ • >0 1 .u 6, =32; V = 3 2; V =32; 0 ■ 4. II u> К» 4q2 - 1 7<7 + 4 = 0, 6,<72 = 32; <7 = 7 - <7 = 4, 4. b t f = 3 2 ; q = 4 - не подходит, т.к. прогрессия убывающая. & =512. Ответ:Ь, -512. 5. Задание: Последовательность (Ьн) - геометрическая прогрессия. Гб, + Ь2 +£>, = 70, Найдите Ь, и а, если < 1 4 b^ bj =8000. Решение: 345 t Ь,+Ьг +Ь3 = 70, I ' 6, b2- Ь, =8000; + bxq + bxq2 =70, by-by-qby-q' =8Q00; I I 1 20; 20 , — (l + qr + 92) = 70; Я 2q2 -5 q + 2 = 0; 9 = 2, 6, =10; о = —, b, = 40. 2 1 Ответ: q = 2, A, = 10или q = ~, 6, = 4 0 . 6. Задание: Найдите четыре числа, образующих геометрическую прогрес сию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого Ьх = 3, 6, = ^<7 = 3-(-2) = -6, b3 =btq2 = 3 4 = 12, 64 = % 3 = 3■ (-8) = -2 4 . Ответ: 3, -6,12,-24. 7. Задание: Произведение первого и четвертого членов возрастающей гео метрической прогрессии с положительными членами равно 27, а сумма вто рого и третьего ее членов равна 12. Найдите сумму второго и пятого членов прогрессии. Решение: на 18. Решение: Из условия следует: (: Разделив второе уравнение системы на первое, получим q = -2. Тогда Ь, = —— = 3. q 2- 1 6, А = 27, Ь2 +Ь3 = 12; t\q + b t f = 12; V V < 7 j = 27, 144? = 27(1 + 2 ? + ? 2); 16<7 = 3(1 + 2<7 + <72); 346 I q = - (не подходит, т.к. прогрессия возрастающая). <7 = 3, * i= i; b2+b5 =b,q + b,q4 = bxq( 1 + Ответ: 84. Решение задач с использованием свойств геометрической прогрессии Рассмотрим ряд примеров на геометрическую прогрессию, при решении которых используются следующие свойства членов геометрической прогрессии: 1. Квадрат каждого члена геометрической профессии, начиная со второ го, равен произведению соседних с ним членов: 2. В конечной геомефической профессии произведения членов, равноот стоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов: ъг ья = ь2-ьп_1=ъ3 .ьп_2 = ..,= ь?дп-'. Приведем примеры применения рассмофенных свойств для решения задач. 8. Задание: Седьмой член геометрической профессии равен 2. Найдите произведение первых финадцати членов этой профессии. Решение: 11,3= Ьх -Ь2 ~Ъъ Ь4 ■.„•Ъ13, Ь\ ■ bfj = b2 • Ьх2 = bj • 6|, = • bl0 — b5 • b9 = bb ■ bg , b^~ bt — by, П , з = & Л ) 6 ‘hf = W ^ W = 8192- Ответ: 8192. 9. Задание: При каких значениях а тройка чисел 1, V2- а , За2 образует геомефическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии. Решение: Используя свойство членов геомефической профессии, получим: (у/2- a J = За2; За? + а - 2 = 0; 3q2 -10^ + 3 = 0; q = 3, 347 . 2 а. = -1, а, = —; , 3 2 1)а, = -1; 2) а2 = —; I, л/3, 3; ^ 4 q = >l 3; ’ л/з ’ 3 ’ 2 2л/3 _ 2>/з q = —рг = . Ответ: V з и л и ------. л/3 3 3 Решение нестандартных задач на геометрическую прогрессию Большие трудности у поступающих вызывают задачи, в которых обычного применения формул недостаточно. Рассмотрим несколько нестандартных задач на геометрическую прогрессию. 10. Задание: Сумма п первых членов геометрической прогрессии выра жается формулой S n = 4 - ( 3 ” —1). Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Решение: Ъ„ = S„ - 5„., = 4• (3" - 1 ) - 4 • ( У 1 - 1 ) = 4 - 3 " - 4 - 4 - З "'1 + 4 = = 4-3"”‘( 3 - 1) = 8-3"-1; = 8 - 3"-'; = 8, q = 3. Ответ: 6, = 8, q = 3. II. Задание: В геометрической прогрессии сумма первых ста девяти чле нов больше суммы первых ста членов этой же профессии на 12. Найдите сумму первых девяти членов этой профессии, если знаменатель профессии равен q. Решение: Из условия следует Sl09 - Sl00 = 12. Mg'09- I ) 6 ,(< Г -1 ) 12. q - 1 <7-1 - * 4 v 7,09- 1 -« 7 ,00 + 1) = 12; q - 1 -(q"” -q"*>) = 12; A / „1 0 9 _10< h 9 - 1 t, 100 9 - 1 (g9- l ) = 12; 348 s 1 „100 ' q - 1 q b,(q9 ~ 1 ) 1 12 о » о — 1) 12 Найдем сумму первых девяти членов: 5, = Шйр----- - = — 12 Ответ: ---- q - 1 q 12. Задание: В геометрической профессии ^|8 + ^|9 = 13. Найдите отно- __ ^6 ■*" ^7 шение суммы первых двадцати четырех ее членов к сумме первых ее двенад цати членов. Решение: Из условия следует: Ш ^19 _ | -4: --------= 13 ; = 13; = и ; Ь6 + Ьу ЩйШ b tf+ b fl6 b,q'W+q) ^ 50 + ?) q>z = 13. ^ 6,(924-1 ) |2 , , , , , , и Составим отношение: —— = „----- = а +1 = 13 + 1 = 14. Sl2 4 (9 ,2- 0 Ответ: 14. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Следует обратить внимание на задачи, связанные с бесконечно убываю щей геометрической профессией. 13. Задание: Сумма членов бесконечно убывающей геомефической профессии в полтора раза меньше ее первого члена. Найдите отношение десятого члена к седьмому. Решение: По условию: 1 - я l - q = 1,5; q = -0 ,5 = — ; 2 349 Ответ: . 8 14. Задание: Сумма членов бесконечно убываю щей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найдите эту прогрессию. Решение: Ответ: 14, — , — 2 8 1 7 15. Задание: Решите уравнение — + х + х 2 + ... + х я + ... = —, гд е |х |< 1. х 2 Решение: 1 7 Представим уравнение в виде — + (х + х + ... + х" + ...) = —. х 2 В скобках записана сумма членов бесконечно убывающей геометричес кой прогрессии, где /?, =х, q=x. I _ £ _ - ! • х 1 - х 2* 9х2 - 9х + 2 = 0; ж ,= 1 , 0 т м т 21 63 3 3 16. Задание: Чему равна сумма Решение: I J [2 2 [2 Т2 + V3 + 3 V3 Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии 17. Задание: Числа а, Ь, с составляют арифметическую профессию с раз ностью 4. Найдите эти числа, если а ,Ь ,с + 8 — последовательные члены геомет рической профессии. Решение: По условию: Используя свойство членов геометрической профессии, составим урав- 18. Задание: Сумма трех положительных чисел, составляющих арифмети ческую профессию, равна 15. Если ко второму из них прибавить I, к фетьему 5, а первое оставить без изменения, то получится геомефическая профессия. Найдите произведение исходных чисел. Решение: Из условия следует: (А.П.) а ,, а, + d , а, + 2d. (Т.П.) а„ at +d + 1, а, + 2d +5. Используя условие задачи и свойство членов геомефической профессии, составим систему уравнений: а, Ь, с: (А.П.) а, а + 4, а + 8. а + 16. с + 8; нение: ( а + 4 ) 2 = а(а + 16); а2 + 8а + 16 = а2 + 16а; 8а = 16; а = 2; Ь = 6; с = 10. Ответ: 2,6,10. fa, + (о, + (a, +2 d ) = 15, fa ,+ £ / = 5, [(a, + d + 1)2 = a,(a, + 2d + 5); [(a, + d + 1)2 = a, (a, + 2d + 5); ( 5 - d + d + \)2 = ( 5 - d ) ( 5 - d + 2d + 5); 36 = ( 5 -< /)(< /+ 10); d 2 + 5 < / - ! 4 = 0; d , = 2 , d2 = —1 (не удовлетворяет условию задачи). d = 2, a, = 3, a2 = 5, a3 = 7; a, a2 a, = 3 - 5 - 7 = 105. Ответ: 105. 19. Задание: Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если сред нее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаме натель данной проф ессии. Решение: Из условия следует: (Г.П.) Ь,, b,q, b,q2. (А .П .)6 „ 2 b,q, b,q2. Используя свойство членов арифметической п р оф есси и , составим урав нение: 2 ы , = 2 4<7 = l + g 1; q 1 - 4q +1 = 0; q ,2 = 2 ± л/3. Ответ: q, 2 = H л/З. Резюме В данной главе вы познакомились с методами решения задан, связанных с про грессией. В начале главы была рассмотрена арифметическая профессия, затем мы перешли к рассмотрению задач, связанных с геометрической профессией. Далее были рас смотрены комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую профессии. В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями: — знать основные сведения и формулы по профессии; — уметь записывать условия задачи в виде системы уравнений; — уметь использовать свойства прогрессии при решении задач; — решать нестандартные задачи на профессию; — решать комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую про фессии. 352 Глава VI Решение текстовых задач у многих учащихся вызывает затруднения. Уни версальных методов решения текстовых задач не существует, но, решая такие задачи, можно придерживаться приведенной ниже схемы: 1. Выбрать неизвестные. В большинстве случаев удобно за неизвестное взять ту величину, которую требуется определить в задаче. Такой вариант следует рассматривать в пер вую очередь, но это правило не является жестким, иногда проще составить уравнения, в которые входят другие величины, и лишь после их определения найти окончательный ответ. Важным моментом является число неизвестных; чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения (или неравенства), но при этом усложняется само решение; не надо вводить новые неизвестные, если какая-то величина элементарно выражается через уже введенные. 2. Составить уравнения (возможно неравенства). В процессе составления системы уравнений важно использовать все ус ловия задачи. Количество уравнений должно совпадать с количеством неиз вестных, за исключением случая, когда требуется найти не сами величины, а лишь некоторое соотношение между ними. 3. Найти нужное неизвестное или нужную комбинацию неизвестных. Если приходится отбрасывать некоторые корни, полученные в ходе реше ния, то это необходимо делать исходя из условий задачи, а не из соображений здравого смысла. Текстовые задачи удобно классифицировать по следующим группам: - задачи на движение; - задачи на работу и производительность труда; - задачи на концентрацию и процентное содержание; -за д ач и на зависимость'между компонентами арифметических действий; - задачи на проценты. жүктеу/скачать 10,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|