И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

/
7
=
2
, 
Ш Ш Ш И И Ш
6
7 
4 2
L 
2 ' 2 /
. 
Л
2л 
5л 
/1 Я1 Л
л = - I , X = ------- а ----- с
6 
7 
- 4 2
[
2 ' 2
_
7Г 
Щл 
17 
7Г 
(
Л Л
П= -2. Х =
------- а ------ с I
42 Л
2 j 2 
Л--3, х
6 
7 
42 
| 2 ’ 2 
ж + 19л 5 л 17л 
4л 
2л
6 
42 
42 
42 ~ 42 ~ Т Г 
О твет: ~ .
3. 
Задание: Решите уравнение cos2 Зх = -
2 *
Решение:
Используя формулу понижения степени, получим: 
l + cos6x 1
2 
~ 2 ’
cos6x = 0;
, 
л
ох = — + 
ли, /
1
6 Z:
2
лг 
ли
X
—‘ 
1
+ — ■
/| 
7
л
Л77
12
6 
О твет: х = — + — , „ e z.
12 
6
4.
Задание: Решите уравнение /g2* = 3.
Решение:
tg2x = 3;
/gx = ±л/3;
х - ± — + 
ли, 
n e Z .
О тв е т: х = ±—+ 
ли, л 
е Z.
3
5. Задание: Решите уравнение /g(;cr) = 
1
.
Решение:
tg(Ttx2)=\;
_ 2
71
ях = — + ли, п е Z;
4
r2_ 
I
х --- i-n, flg Z ;
4
289

х = ±—л/4/j + l , где и = 0; 1 ;2 ;3... 
О тве т: х = ±—л/4и + 1, п е Z, я > 0.
2 
2
6. Задание: Решите уравнение cos* = —.
3
Решение: Поскольку — » 1,04 > 1, уравнение решений не имеет.
3
О тве т: Решений нет.
Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых 
являются одноименными тригонометрическими функциями
l)sin a = sin р,
а - р  = 2 ли, 
а + Р = 7Г + 2 лк; 
а = (~\)кР + лк, k e Z .
а = р + 2ли, 
а  = л - Р  + 2лк]
п,к е Z;
2) cos а = cos р.
а - р + 2 т ,
а  = ~Р + 2 лк;
а -
Р - 2ли, 
а + р = 2 лк;
а
= ±Р + 2лк, к е Z.
{а - Р = лп,
Га = р + лп,
п,к € Z;
Р * — + л к ;\ р *:— + лк ;
fa - Р  = ли, \а - Р + лп, 
[р * лк; 
\р * лк;
7. Задание: Решите уравнение:
a)sin5x = — sin дг; 
б) cos Зх = cos 12°;
Решение:
o)sin5x = -sinx;
sin5x = sin(-x);
n,k 6 Z. 
n,k e Z.
e)cos3x = sinx; 
e)tg\\x = tgx.
5x - (-x) = 2im,
5x + (-x) = л + 2 лк;
6x = 2 ли,
4x = л + 2л£;
О тве т: x = ™ ,x = —(2k +1), n ,k eZ .
3 
4
ли
л лк
X =
— + ---
4 
2
и, А е Z.
6)cos3x = cos 12°; 
Зх = 12° + 2 ли,
Зх = -12° + 2лЛ;
х = 4° + 120°я, 
х = -4° +120%;
п,к е Z.
Ответ: х
= ±4° +120°и, и е Z.
290

e) cos Зх = sin 
х;
cos3x = cos|-- x I;
Зх =-- x + 2m,
2
Зх =-- + x + 2nk\
2
4x = — + 
27m
.
2
2x = —— + 2лк\ 
2
Л 701 
x = — v— , 
8 
2
x —-- + 7ik;
4
n,k g Z.
О твет: x = —(4n + \),x = —{4k -1), n,ke Z.
8 
4
2)/gl lx = fgx;
[ 
1 Ijc - x 
= 
701,
7t 
, 
\ x * — + 7& ',
2
701 
Л
,
—
* — + 7ik;
10
2
n 
1
—
* - + k ;
10 2
n *5 + 10*.
10
x ^ — + 7ik ; 
2
n,k 6 Z;
О тве т: x = — ,гд ел *5 + 10А, n ,k e Z .
10
Метод разложения на множители
При решении тригонометрического уравнения данным методом можно 
пользоваться всеми известными способами разложения на множители алге­
браических выражений: вынесение за скобки общего множителя, группиров­
ка, применение формул сокращенного умножения. Путем разложения на мно­
жители тригонометрическое уравнение приводится к виду, когда левая часть - 
произведение тригонометрических функций, а правая часть - нуль. Таким 
образом, исходное уравнение распадается на несколько более простых урав­
нений.
Необходимо также знать следующие формулы:
- сложения аргументов тригонометрических функций;
- понижения степени тригонометрических функций;
- преобразования произведения тригонометрических функций в сумму;
- преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Перейдем к решению тригонометрических уравнений данным методом.
8
. Задание: Решите уравнение sin — • sin х = 0.
291

Решение:
sin — -sin x = 0; 
2
1) sin — = 0;
2
* 
r,
— = nn, n € Z;
2) sin ,v = 0; 
x-7tk, к 6 Z.
x = 2ли, я 6 Z;
Очевидно, что множество решений в первом случае является подмноже­
ством решений во втором случае: 
я = 0: х = 0; 
я = 1: х = 2л;
А = 0: х = 0;
А = 1: х = тг; 
к
= 2: х = 2 тт.
9. Задание: Решите уравнение 
Решение: 
sin дг
1 + C O S X
= 0
О тв е т: x = 
t
A, к e Z.
sinx
------= 0.
к у
1 + cosx
n \Is
\o
Ттж
sin х = 0, 
cos* * -1;
Где = ля, я е Z, 
1 х *л + 2лА, A eZ .
Отбрасывая из множества решений х = ли значения, входящие в серию 
х = яг+ 2 л£, получаем х = 2лиг, я» е Z .
О тв е т: х = 2ят, m e Z .
10. Задание: Решите уравнение 2sin 2х+sin х = 0.
Решение:
2sin 2x+sinx = 0;
4sinx-cosx+sinx = 0; 
sinx(4cosx + J) = 0;
l)sin x = 0; 
2)4cosx + l = 0;
x
= тгя, я 6 Z;
1
cosx = — ;
4
292

I
x = ±(;r-arccos-) + 2;zfc, 
keZ.
№
......
i 
4
О твет: x — лп, x = ±(л 
- arccos—) + 2
лк, n, к 
e Z .
4
11. 
Задание:
Решите уравнение 
1 + sin 
x 
■
cos 
2x 
= sin 
x +
cos 
2x. 
Решение:
1+sin 
x ■
cos 
2x =
sin 
x 
+ cos 
2x\
1 + sin 
x ■
cos 
2x 
- sin 
x -
cos 
2x =
0;
(1 - sin 
jc
) 
- cos 2x • (1 - sin x) = 0;
(1 - sin 
x )(l 
- cos 2
jc
) = 0;
l)sinx = 1; 
2)cos2x = l;
л 
.
_
2x = 
2лк, к e
Z;
x = — b 2лп, n e Z;
2 
jr = 
лк, к e Z.
О твет: x = — i-2ли, x - лк, n,к e Z.
2
\ 2. Задание:
Решите уравнение 
cos Зх • cos 2x = sin 
3x •
sin 2x. 
Решение:
cos3x cos2x - sin Зх-sin 
2x\ 
cos3jrcos2x-sin3xsin 
2x 
= 0.
Применим следующую формулу сложения аргументов: 
cos(a + 
Р )
= cosa • cos 
/5 -
sin a • sin 
/3.
cos(3x + 2
jc
) = 0;
cos5x = 0;
,
я 
_
5x =
 
— ь лп, n
 e Z; 
»~
2
Л
701
 
_
П 
701
 
_
x =
— + — , 
n e Z . 
О твет: x =
— + — , 
n e Z .
10 
5 
10 
5
13. 
Задание:
Решите уравнение 
cos4x = s in f^ +6xj.
Решение: 
cos4jc 
= sinl — 
+ 6x
.2
cos4
x
=cos6x; 
cos6x - cos4jr = 0.
Применим следующую формулу преобразования суммы тригонометри­
ческих функций в произведение:
293

а 
о • В + Р
■
а - р  
cos а - cos Р  = -2sin---—sin---—.
2 
2
1) sin 5x = 0; 
2) sin 
jc
= 0;
5
jc
= 
ли, n e Z; 
jc
=
лк, к e Z.
ли
jc
= —
, we Z;
5
Решения вида — включают в себя все решения вида лк, при и = 5£.
О тв е т: х = — , и е Z.
5
14. Задание: Решите уравнение:
a ) sin7x + sin3x = 2cos2x;
— 2sin 5jc-sin 
jc
= 
0 ;
sin 5xsinx = 0;
л л
7 '2
б) sin x-3cos3x + sin lx  = 0. Найдите корни, принадлежащие отрезку 
Решение:
а) Применим следующую формулу преобразования суммы тригономет­
рических функций в произведение:
^ ■
а
о • 
а + Р
а - р  
sina + sm/7 = 2sin---—cos---—.
2 
2
2sin5jccos2x = 2
c o s
2
jc
;
2cos2x(sin5jc-
1
) = 
0
;
l)cos2x = 0; 
2) sin5x = 1;
2x = —+ яи, n e Z ; 
5x = —+ 2лк, k e Z ;
2 
2
It лп 
л
2лк 
. 
„
x = —- + — I n e Z ; 
x = — +---, к e Z.
4 
2 
10 
5
Л 
я ли 
л
2 лк 
, 
„
О тв е т: х = —+— ,х = — +---, п,к 
e Z .
4 
2 
10 
5
б) sinx-3cos3x + sin7x = 0;
2sin 4х • cos3x - 3cos3x = 0; 
cos3x(2sin4xv3) = 0;
cos3x = 0 
или 
2sin4x-3 = 0;
Зх = — + лк; 
. 
3
2 
sm4x = —;
л лк 
,. 
I 
1
х = —+ — , (к е Z ). 
решении нет, т .к . |sin4x| < 1.
294

Найдем целые решения двойного неравенства: 
я я лк 
я
~4~И
Т ?
5л лк 
я
” 72 _ Т “ 1 ’
- — < А < 1;
4
А е {-1; 0; l}.
15. 
Задание: Решите уравнение 
cos4* cos5* = cos6* cos7*.
Решение:
Применим следующую формулу преобразования произведения тригоно­
метрических функций в сумму:
cos 
а
• cos /? = — (cos(or 
+ jB) +
cos(a - 
P )\
-^(cos9x + cosx) = —(cos!3x + cosx);
cosl3x = cos9x;
13x = 9x + 2 7Ш,
1 Зх = -9x + 2лк\
4x = 2 7oi, 
22x = 2як\
лп
X = -- , 
П 
S
Z,
2
л* . 
' 
x = — , k € Z. 
II
„
7lk 
701
О тве т: x = — , x = — , n.keZ.
11 
2
16. Задание: Решите уравнение cos4 — sin4 — = sin 2x 
^
2
2
Решение:
.
4
x
. _
cos — sin — = sin 2x;
f
1
X 
, 2
xY
COS'— + sin — I
1 
1 
2Л
cos^ — sin2 — I = sin 2x;
2 
2
cos x = 2 sin x • cos x; 
cosx(l-2sinx) = 0;
1) eosx = 0;
2) sin x =
X =--h 701, n 6 Z;
2
x = (-1) — \-7di, keZ. 
6
295

О тв е т: х = —+ ли, х = (-1)* — + яй, n.keZ.
2 
6
17. Задание: Решите уравнение 2sin2 х + cos4jc = 0.
Решение:
Если тригонометрическое уравнение содержит sin х или cos х в четной
степени, то можно применить формулы понижения степени:
. 2 ос 
1-cosar 
, a
1 +cosar
sin — = ------ ; cos' — = ------ .
2 
2
2
2
_ 1 -cos 2.x
2-------+ cos Ax = 0;
2
1 + cos Ax - cos 2x = 0;
2 cos2 2x - cos 2x = 0; 
cos 2x(2 cos 2x - 1) = 0;
1)cos2jc = 0; 
2) cos 2x =
2
-
я
„
2x = — + ли, n e Z
_ 
,7 i
2 
2x = ± —+ 2л*, k e Z;
3
л ли
x = —+— , n eZ ; 
7i
4 
2 
x = ±— + Ял, A eZ.
6
О тв е т: x = — (1 + 2/?), 
jc
= — (
6
Л:± 1). n,keZ.
A 
6
18. Задание: Решите уравнение 
2
sin
2
x - 2sin
2
2x + 2sin
2
3jt = 
1
.
Решение:
Применим формулу понижения степени.
^ l-cos2x ^ 
1
- cos Ах | ^ 
1
- cos бх _
2 
2
+
2
” ’
l-cos2x-(l-cos 4jc) + 1-cos6x = 1; 
cos Ах - cos 2х - cos 
6
x
 
= 0; 
cos Ах - 2 cos 4jc • cos 2x = 0; 
cos4jc(1 - 2 cos 2x) = 0;
1) cos 4.x = 0; 
2)
cos
2
jc
= —;
2
7t 
_
Ax = — + 7m ,neZ; 
- 
, л
2 
ч 
2x = ±—+ 2лЛ, A e Z;
3
/Г ЛИ 
\
x = — +— , n e Z ; 
. я-
8 
4
x = +—+ лк, A eZ .
6
О тве т: x = —(1 + 2л), x = — (6A±1), n,keZ.
8 
6
296

надлежащих отрезку 
Решение:
2 cos2 x-sinx-2 = 0;
2(1 — sin2 дг)-sinx-2 = 0;
-2sin2 x-sinx = 0; 
sin x(2 sin x +1) = 0;
l)sinx = 0; 
x = m , n eZ ;
Sn
19. 
Задание:
Найдите число решений уравнения 2 cos2 х - sin 
х -
2 = 0 при-
1 Щ я
h = 0: x = 0 e 
я = 1: х = 
2
г e 
n = 2: x = 2згe
0;-
0; —
2
0;—
2
При других значениях и корни уравнения не попадают в заданный проме­
жуток.
^ . 
I
2 ) 
sin 
jc
= —
;
2
х = (—I)**1 — + лк, k e Z ;
6
I p
x = —— 
й
6
» 
, 
7jt 
к = 1: x = — e 
6
0;—
2
0;—
2
. 
- 
19л:
A=3: x =-- g
6
0;—
2 .
0;—
2
Число решений уравнения равно S. 
О тве т: 5.
297

Метод введения новой переменной
Данный способ решения тригонометрического уравнения заключается в 
следующем: исходное уравнение приводится к алгебраическому относитель­
но тригонометрической функции одного аргумента; затем решается полу­
ченное алгебраическое уравнение, что приводит к нескольким простейшим 
тригонометрическим уравнениям, из которых находят значения неизвестного.
Часто перед введением новой переменной приходится делать некоторые тож­
дественные преобразования. Если в уравнение входят тригонометрические функ­
ции одного аргумента, то надо выразить эти функции через одну из них, например, 
чфеззгис, а потом заменой sinx=а свести исходное уравнение к алгебраическому.
Рассмотрим тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным.
20. Задание: Решите уравнение 2 cos2 x+ 5sinx-4 = 0.
Решение:
2cos2x + 5sinx-4 = 0;
2(1 - sin2x) + 5sinx-4 = 0;
2sin3x-5sinx + 2 = 0.
Замена: a = sin x.
21. Задание: Решите уравнение cos4 x + 3sinx-sin4 x = 2 . 
Решение:
cos4x + 3sinx-sin4x = 2;
(l- sin 2x)2 + 3sinx-sin4x-2 = 0;
2sin2x-3sinx + l = 0.
Замена: a = sin x.
2a2 - 3a +1 = 0;
2az - 5o + 2 = 0; 
1
a
, =
2
'
a * =
2) 
sin x = 2 - уравнение решений не 
имеет, т.к. | sin х | < 1.

х = (- !)" — + ли, 
n eZ ;
6
2) sinx = 1;
x = —+ 2лк, k e Z . 
О тв е т: x = (-1)" — + ли, x = — + 2лЛ, n.keZ.
2 
6
 
2
22. Задание: Решите уравнение 3tg2x - 8 cos2 x +1 = 0.
Решение: Обозначим a = tg2*, тогда cos2 x =----— =--- .
I + lg x 
l + a
3 
a ------+ 1 = 0;
l + o
3o2 + 4o - 7 = 0;
7
a, =--- посторонний корень, т.к. о > 0;
а2=\; 
tg2x = 1; 
tgx = ±1;
х = ±—+ ли, и € Z. 
О тве т: х = ±— + ли, и е Z.
4 
4
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к ал­
гебраическим относительно tgx. Примерами таких уравнений могут служить 
однородные уравнения.
1. Уравнение вида а-sin кх + 
b 
coskx = 0 (о *■ О, Ь 
Ф
0) называется однород­
ным уравнением первой степени относительно sin кх, cos кх.
Для того чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на cos кх. 
При этом потери корней не происходит, т.к. если cos кх = 0, то из уравнения 
следует, что и sin кх = 0, что невозможно, поскольку sin2 кх + cos2 кх = 1.
В результате получаем уравнение a tg кх + Ь = 0.
2. Уравнение вида о -sin2 Ах + 
b 
-sin кх -cos кх + с ■
 cos2kx = 0 (a * 0 ) 
называется однородным уравнением второй степени относительно sin кх, 
cos кх. Разделив обе части уравнения на cos2kx, получим равносильное урав­
нение: о • tg2kx + 
b 
■
 tgkx + с = 0.
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23. Задание: Решите уравнение 2sin Зх - 5cos3x = 0.
Решение:
2sin3x-5cos3x = 0 | :cos3x#0;
2tg3x
-5 = 0;
299

1 
5 
701
1 
5 
ли
х - — arctg
— + — , 
п e Z . 
Ответ: х = —arctg
—+ — ,
3 
2 
3 
3 
2 
3
24. 
Задание:
Решите уравнение sin2 дс ч- 2 sin x -co s* - З а м 2* = 0. 
Решение:
sin2x + 2 s in x c o s x -3 c o s 2x = 0 | : cos2x * 0 ;
tg2x
+ 
2tgx
- 3 = 0.
Замена: о = tg х.
о2 + 2 а - 3 = 0; 
а, = -3, а2
= 1;
l)/gx = l;
2) 
tgx
= -3;
л
_ 
х = 
-arctg3
+ 
7ik, к
е Z.
х = — 
+ 701,
л е Z;
4
Ответ: х
= — + ли, х = 
~arctg3 + 7ik, п,к е Z.
25. Задание:
Решите уравнение 2 sin2 х + 6 = 13sin 2 х .
Решение:
2sin2x + 6 = 13sin2x;
2sin2 х + 6(sin2 x + cos2 x) =.13-2sinx-cosx;
4sin2x -1 3 s in x c o s x + 3cos2x = 0 | 
: cos2x * 0 ;
4 
tg2x -
1
3tgx
+ 3 = 0.
Замена: 
a =
tg x.
4 a2 -1 3 o + 3 = 0; 
a 2 -1 3 a + 12 = 0;
a, =1, 
a2 =
12;
5
8 
2 '
Зх
= 
arctg— +
ли, и е Z;
1 
,
a,
= —, 
a, = 3;
4 
*
= 
2) 
tgx
= 
3;
4
. 
x = arctg3 + 7ik, k e Z .
x 
= 
arctg —
+ 
ли, neZ ;
Ответ: x
= 
arctg— + 
701
,
x 
= 
arctg3 + 7tk, n .keZ .
300 
4
И € Z.

Суть данного метода в том, что некоторую величину представляют как 
тригонометрическую функцию соответствующего аргумента <р, а затем про­
водят тригонометрические преобразования.
Поясним метод на примерах.
26.
Задание:
Решите уравнение sin 
jc
-
н
л
/
з
c o s
jc
=
1
.
Решение:
sinx + >/3cosx = 1 | :2;
1 . 
л/3 
1 
—sin 
х 
+ — cosx = —;
2
 
2
 
2
л . 
. л
 
1
cos—sinx + sin—cosx = —;
3 
3 
2
• / 
x \
1 
sin(x + —) =
3 2
x + —= (-1 
)я — + лп, n eZ ;
3 
6
x = (-l)" — - — 
+ лп, n e Z . 
Ответ:
x = (-1)"------- + ли, 
n
eZ.
6 
3 
6 
3
27. 
Задание:
Решите уравнение 3cosx + 4sinx = 5.
Метод введения вспомогательного угла
Решение:
 
Т.к. 
л/з
2
 + 4
2
= >/25 = 5, разделим уравнение на 5.
3 
4 .
-co sx + — sinx = 
1
.
5 
5
Обозначим sine> = —, cos© = —,<» = arcsin-.
5 
5 
5
sin 
(p ■
 cosx + cos
0
>- sinx = 
1
;
s\n((p + x)
= 1;

—
у
 2лп,
я 6 Z;
2
x = — д»+2яи, neZ;
2
■*. 
2
3
x = — -arcsin- + 2яи, « e Z . 
Ответ: 
x
 = — arcsin-+ 
2яи, я 
eZ.
2 
5 
2 
5
Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и
минимума функций вида 
у
=
 a-sinx + A-cosx+
с
.
28. 
Задание:
 Найдите максимумов минимум функции:
у
= 5sinx + 1 2 c o sx -7 .
301

sin2 
а
+ cos2 
а
= 1;
sin 2 а = 2 sin a-co sa.
. , х
„ . 
х 
х
2х 
1 
sin' — + 2sin—-cos— + cos —5 —;
4 
4 
4 
4 
2
. 
х
I 
1 + sm — < —;
2
2
■
 
x
1 
sm — s — .
2
2
Замена: — = /.
2
Раскроем квадрат суммы двух выражений и воспользуемся формулами:
sin/ < — ;
2
.
(
П
я
a. = arcsin — = — ;
I 2J 
6
я
5л
a , = -л ч — = ----- ;
'
6
6
a 2 < a,;
- — + 
2лк
< 
t < ~ — + 2лк,
6
6
- •£%+ 
2як < — <
——■
+ 2я*,
6 
2 
6
- — + 4я* < jc < 
+ 4як,
3 
3
Ответ,
■
+ 4 
як;
— + 
Аяк
3
к е Z;
к е Z;
k e Z .
k e Z .
Ijjjl
. ( л
^ 
( я
_ Л'. 
л/З 
. 
Задание:
Решите неравенство sinl 
- ~ 2 х \ -
cosl 
—~2х\>
——.
10
Решение.
sinf— - 2дг1 • cosf—- 2x1 > - — .
I 3 
J 
1 3
)
 
4
1 
.
Преобразуем левую 

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: