ЛЕММА 2.4. Если оператор Штурма-Лиувилля имеет не менее двух кратных собственных значений, отличных от нуля, то имеет место равенства
 (2.16)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Оператор Штурма-Лиувилля (2.11)-(2.12) называется вырожденным, если ее спектр пуст или вся комплексная λ - плоскость.
ЛЕММА 2.5[3]. Оператор Штурма-Лиувилля (2.11)-(2.12) вырожден тогда и только тогда, когда  (2.17)
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. ТЕОРЕМА 3.1. Если оператор Штурма-Лиувилля
  ,
с линейно независимыми краевыми условиями, имеет не менее двух, отличных от нуля, кратных собственных значений, то граничное условие такого оператора имеет вид
 где  . (2.18)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По нашему предположению оператор Штурма-Лиувилля имеет не менее двух кратных собственных значений. Известно, что спектр вырожденного оператора либо пуст, либо вся комплексная λ плоскость, причем все они являются однократными собственными значениями. Таким образом,
 (2.19)
Следовательно, ни один из  не обращается в нуль. Выводим граничного условия, удовлетворяющего всем этим требованиям. Из условия  следует, что
Решим эту систему уравнений относительно  ,  , методом Крамера.
Следовательно, имеет место равенства
В нашей ситуации  , поэтому
В силу пункта 1) леммы 2.3 имеет место равенство  , поэтому
Следовательно, граничное условие примет вид
 (2.20)
Аналогично из условия  выводим, что
 (2.21)
Сравнивая формул (2.20) и (2.21), получим
Если  , то  , тогда по теореме единственности решения задачи Коши, получим  , поскольку речь идет о нетривиальных решениях, то  и 
Достарыңызбен бөлісу: |
