Литература
Павлюк Ин. И., Павлюк И. И. К теории сравнений в группах // Вестник ПГУ им. С. Торайгырова. Серия физико-математическая. Павлодар. ПГУ. 2004 г. №3. С. 34-49.
Павлюк Инесса Отношение центральной сравнимости в теории групп //Доклады АН РТ.-2009.-Т. 52(8).-С. 593-597.
УДК 513
разработка и программная реализация системы исследования линий и поверхностей второго порядка
Плохов С.А.
Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева, Петропавловск
Научный руководитель - к.п.н., доцент Рванова А.С.
Современная геометрия занимает особое место в математике благодаря наглядности многих образов, которыми оперирует. В то же время эта наглядность сегодня успешно подвергается формализации и далеко идущему абстрагированию [1].
Многие геометрические понятия возникли из конкретных задач механики, физики, а так же необходимости решения геометрических задач в других областях науки, таких как экономика, информатика, а так же в некоторых промышленных областях, например, в машиностроении, энергетике, строительстве и т.д. Многие геометрические задачи постоянно усложняются, и поэтому становится целесообразным использовать современные информационные технологии для их решения. В зависимости от класса геометрических задач, разрабатываются специализированные приложения для автоматизации их решения.
Одним из таких примеров может являться программное приложение исследования общих уравнений линий и поверхностей второго порядка. Данное приложение представляет собой программное средство, облегчающее процесс изучения такого раздела геометрии, как линии и поверхности второго порядка.
Разработанное приложение сочетает в себе реализацию математических алгоритмов решения, написанных на языке программирования, и визуализацию некоторых математических аспектов исследования.
Одной из задач геометрии является переход от общего уравнения линии или поверхности второго порядка к каноническому уравнению, а так же определение типа линии или поверхности. Переход от общего уравнения к каноническому может осуществляться несколькими способами. В разработанной программе применяется метод инвариантов, который является наиболее оптимальным для программной реализации.
Любая поверхность второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат определяется общим уравнением вида:
Алгоритм перехода от уравнения общего вида к каноническому уравнению методом инвариантов заключается в следующем:
Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относительно преобразования координат есть:
, ![](data:image/png;base64,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) ![](data:image/png;base64,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) ,
, .
Процесс нахождения определителей довольно трудоемкий, поэтому актуально говорить об автоматизации вычислений.
Найденные значения инвариантов подставляются в характеристическое уравнение:
Корни данного характеристического уравнения будут являться коэффициентами в искомом каноническом уравнении поверхности второго порядка. В общем виде каноническое уравнение поверхности есть:
Данный алгоритм реализован в программном приложении исследования общих уравнений линий и поверхностей второго порядка [2].
Второй немаловажной задачей исследования является определение типа линии или поверхности второго порядка. Данное программное приложение инициализирует 17 типов поверхностей второго порядка.
Пример. Поверхность задана общим уравнением:
Результаты исследования данного уравнения отображаются на главной форме приложения (рис. 1).
Рисунок 1 – Результаты исследования общего уравнения.
Данный программный продукт является методическим пособием и поэтому должен обладать функцие визуализации геометрических образов. Для этого в нем осуществлена возможность построения сечений исследуемой поверхности плоскостями OXZ, OXY, OYZ. Для этого в программе предусмотрена дополнительная форма с тремя графическими полями, предназначенными для построения сечений. В примере, рассмотренном выше, общее уравнение описывало эллипсоид (рис. 2).
Рисунок 2 – Построение сечений поверхности второго порядка координатными плоскостями OXZ, OXY, OYZ.
Данное программное приложение позволяет автоматизировать вычисления при переходе от общего уравнения второго порядка к каноническому виду, определять тип исследуемой поверхности, а также визуализировать сечения данной поверхности плоскостями OXZ, OXY, OYZ.
Достарыңызбен бөлісу: |