Литература
Ляшенко И.И. , Павлюк И. И. О нормальных множествах группы// Материалы международной научной конференции «Первые Ержановские чтения». Т.2. Павлодар. ПГУ 2004 г. С. 262-265.
Павлюк Инесса И. Группы с отношениями сравнимости для подгрупп и элементов (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук)// Астана. 2010 г. С. 93. (Д. 14. 61. 50 ЕНУ им. Л. Н. Гумилева)
Павлюк И. И. Сравнения и проблема Черникова в теории групп (Монография)// ISBN 9965-568-78-1. Павлодар. ПГУ. 2002 г. С. 222..
УДК 517.91
О ХАРАКТЕРЕ ЗАВИСИМОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
Нурданова С.Н.
Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
Рассмотрим в пространстве ![](data:image/png;base64,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) оператор Штурма-Лиувилля
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEkAAAANCAYAAADlukOmAAAACXBIWXMAAA6vAAAObQGI3fYiAAADpklEQVR4nGP5//8/w0CD0tLSbiAoxSZXVlbWBQRl9LAPl10s1LScHHD8+HHL58+fS+KSf/r0qfTJkyfNgeAkre3DZRdKIIWEhKxZt25dkJeX17YtW7b4UMNR2AATE9M/dLElS5bEYFObmZk5feLEifnLli2LItb8/fv3O4L0OTo67p8+fXomshzIrNzc3Mmk2IUSSI2NjfV3795VpmUAwcC/f/+YQIElIyPzBAhkcKnT1dW9fPToUWtSzD527JjVqlWrwq5du6aFTW7WrFlppNiFEkgXL17U19PTu1RTU9Ny6tQps127drk9evRIzsjI6NybN29EkNV+/fqVG90wLi6ub4yMjCiFHDazkOVfvXolBmMvWrQorgEIbt++rXrr1i21uLi4RaDkj6yGGLurq6tbQZHQ1NRUN2/evCRku798+cIDBF+ItQtrIAHBxaKioj4QDRJ79+6dUHp6+kxkdX///mVuaWmpQTessLCwX0xM7BWyGEgdulnt7e2VMHlRUdHXoLIAxAY5dN++fU4dHR0VoEgBee7z58+8yGYSa3dbW1uVr6/v5r6+viJku0GBAwooYuzCGUglJSU9ILampuZ1UAiD8icoGyKrY2Zm/ovsURiAlTWgWEQWRzcLWa+1tfVRUNaA8Wtra5vNzMxO3blzR0VQUPD9kSNHbEBqCNmNDEApApSFQfrQ7QYVJ5cvX9YFyRGyC2cggbIbsFnA+PPnT3ZQ3nVyctrHycn5HVkdKDZhgYkMQLWGuLj4S3RxKyurY7jMys/PnwgLJFCKmjp1ajYoFeTl5U1avHhxLIhfUFAwgZDdFRUVHSC7QalhxowZGaBs/uvXLzZ0u0H2gcxUUFB4QMgujECKjo5e+vLlS3EJCYkXID4oRFlYWP6Aajp0TaDY7O/vL0QXxwVADj18+LAtslmwVIccc25ubrt2797tCkryoPYKyNFycnKPkKtkQnaD9IHaQKDUw8bG9guUOkCB1dPTUwKSt7S0PL5hw4YAfHaBEgoQ6GEE0tKlS6NBGMQGpaTOzs5yUMARGxC4AMisPXv2uMDKBhBAz44wcPXqVW0YG5QtSLXr5s2b6mlpabNERETeXLlyRQdUJoE8PXPmzHRkdSC/gTA2u0BZ9du3b1zI6rE2JkEhWllZ2S4rK/uYVIfS0ixCQF1d/SaM7eDgcABU4/n4+Gwhxe7s7OypK1asiEAWwxpIjx8/liXfqbQzix52nzlzxgRdbMC7JUMBAAC8W3MkoM97lAAAAABJRU5ErkJggg==) (1.1)
, (1.2)
где - вещественное число и λ- спектральный параметр.
Легко установить, что оператор (1.1)-(1.2) симметричен и если ![](data:image/png;base64,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) , то нормированные собственные векторы оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) образуют ортонормированный базис пространства ![](data:image/png;base64,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) [1].
Собственные значения оператора (1.1)-(1.2) зависят от и меняются при изменении . Возникает вопрос, какова эта зависимость, в частности, не происходит ли столкновение или уплотнение собственных значений оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2).
Отметим, что такие задачи возникают при разделении переменных краевых задач для уравнений с частными производными.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Общее решение дифференциального уравнения
(2.1)
имеет вид
![](data:image/png;base64,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) (2.2)
где ![](data:image/png;base64,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) - произвольные постоянные зависящие, вообще говоря, от спектрального параметра λ. Подставив (2.2) в граничное условие (1.2), получим систему уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных ![](data:image/png;base64,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) .
.
Следовательно, собственные значения оператора Штурма-Лиувилл (1.1)-(1.2) являются корнями характеристического определителя
. (2.3)
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предположим, что , тогда
.
Если , то , поэтому величина не является собственным значением.
Если , то
, ,
.
, .
Следовательно, уравнение на числовой оси имеет единственный корень , тогда из имеем . Поэтому в этом случае отрицательные собственные значения отсутствуют, и все собственные значения (если есть) положительны .
Если , то
. (3.1)
Если , то из уравнения имеем , тогда , что невозможно. Таким образом, если , то , поэтому . Обратно, если и , то . Множество нулей функции совпадает с множеством, отличных от нуля, корней уравнения , поэтому детально изучим свойства функции . Поскольку , то ограничимся изучением лишь неотрицательных корней уравнения . Функция положительна в тех интервалах, где , т.е. при , , поэтому в этих интервалах корни уравнения отсутствует. Пусть , , тогда
, ,
.
Следовательно, функция монотонно возрастает в интервале , от до , и обращаясь в нуль лишь в одной точке . Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество положительных корней расположенных в интервалах , , т.е. имеет место неравенство
![](data:image/png;base64,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) (3.2)
Теперь изучим поведение корней ![](data:image/png;base64,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) , ![](data:image/png;base64,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) при изменении параметра от 0 до ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAACXBIWXMAAA6+AAAORgE2J9p1AAAA30lEQVR4nGP5DwQMJAAWUhSjaHhwbDvD6efiDKHBRsRp+PvrB8OXL7/gErdPr2NYsusGg4m1JcPtrVsZXrNIA0WFGVheXNnFMGvlAYbn924yPP7Ew3D97GYGHbcQBg1+YYbi0nyGPfPaGTgc4hnavZUgNkjouDHUAfHdA+sZDj2UZEiMtwBLHNi7keHc4T0MJ679ZzBUecJw6vA7BgZ2RoSTmNk4GHh42OBOsjYzZ9h3+BRDbFEBg+T/BwyHL/wAigogNChYeTIoIHmOlVeCwd3LD8oTZQhURPM0sYD2GgCBP0VV8b6YgAAAAABJRU5ErkJggg==) . Из уравнения имеем ,
, . (3.3)
Тогда: 1) , , 2) , .
При изменении параметра в пределах от 0 до ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAwAAAALCAYAAABLcGxfAAAACXBIWXMAAA6+AAAORgE2J9p1AAAA30lEQVR4nGP5DwQMJAAWUhSjaHhwbDvD6efiDKHBRsRp+PvrB8OXL7/gErdPr2NYsusGg4m1JcPtrVsZXrNIA0WFGVheXNnFMGvlAYbn924yPP7Ew3D97GYGHbcQBg1+YYbi0nyGPfPaGTgc4hnavZUgNkjouDHUAfHdA+sZDj2UZEiMtwBLHNi7keHc4T0MJ679ZzBUecJw6vA7BgZ2RoSTmNk4GHh42OBOsjYzZ9h3+BRDbFEBg+T/BwyHL/wAigogNChYeTIoIHmOlVeCwd3LD8oTZQhURPM0sYD2GgCBP0VV8b6YgAAAAABJRU5ErkJggg==) корни не слипаются, что видно из неравенства
.
Следовательно,
, . (3.4)
По теореме о неявной функции корни непрерывно дифференцируемо зависит от параметра [2.стр.95]. Продифференцировав уравнение по параметру , получим дифференциальное уравнение движения нулей , при изменении параметра . , , где - знак дифференцирования по параметру . Преобразуем полученное дифференциальное уравнение, принимая во внимания исходное уравнение .
; , , , , , , . (3.5)
Следовательно, при изменении параметра в сегменте ![](data:image/png;base64,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) функция принимает все значения из сегмента монотонно возрастая от до , /см. Рис.1/.
///// ///// /////…
Рис 1.
Оценим скорость стремления к своим граничным значениям корней , при применении параметра . По теореме Лагранжа [2.стр.16] имеем
,
, ,
, , , .
Нами доказана следующая теорема 3.1.
Достарыңызбен бөлісу: |