Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- О ХАРАКТЕРЕ ЗАВИСИМОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ Нурданова С.Н.
- ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
- 3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Литература Ляшенко И.И. , Павлюк И. И. О нормальных множествах группы// Материалы международной научной конференции «Первые Ержановские чтения». Т.2. Павлодар. ПГУ 2004 г. С. 262-265. Павлюк Инесса И. Группы с отношениями сравнимости для подгрупп и элементов (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук)// Астана. 2010 г. С. 93. (Д. 14. 61. 50 ЕНУ им. Л. Н. Гумилева) Павлюк И. И. Сравнения и проблема Черникова в теории групп (Монография)// ISBN 9965-568-78-1. Павлодар. ПГУ. 2002 г. С. 222.. УДК 517.91 О ХАРАКТЕРЕ ЗАВИСИМОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ Нурданова С.Н. Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш. Рассмотрим в пространстве   оператор Штурма-Лиувилля
  (1.1)
 , (1.2)
где - вещественное число и λ- спектральный параметр. Легко установить, что оператор (1.1)-(1.2) симметричен и если  , то нормированные собственные векторы оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) образуют ортонормированный базис пространства [1].
Собственные значения оператора (1.1)-(1.2) зависят от и меняются при изменении . Возникает вопрос, какова эта зависимость, в частности, не происходит ли столкновение или уплотнение собственных значений оператора Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2). Отметим, что такие задачи возникают при разделении переменных краевых задач для уравнений с частными производными.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Общее решение дифференциального уравнения  (2.1)
имеет вид  (2.2)
где   .
Следовательно, собственные значения оператора Штурма-Лиувилл (1.1)-(1.2) являются корнями характеристического определителя  . (2.3)
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Предположим, что  .
Если Если  , то
 ,  ,
 .
 ,  .
Следовательно, уравнение  на числовой оси  имеет единственный корень  , тогда из  имеем  . Поэтому в этом случае  отрицательные собственные значения отсутствуют, и все собственные значения (если есть) положительны  .
Если  . (3.1)
Если  , то из уравнения  имеем  , тогда  , что невозможно. Таким образом, если , то  , поэтому  . Обратно, если  и  , то . Множество нулей функции  совпадает с множеством, отличных от нуля, корней уравнения , поэтому детально изучим свойства функции  . Поскольку  , то ограничимся изучением лишь неотрицательных корней уравнения  . Функция положительна в тех интервалах, где  , т.е. при  ,  , поэтому в этих интервалах корни уравнения отсутствует. Пусть  ,  , тогда
 ,  ,
 .
Следовательно, функция монотонно возрастает в интервале  , от до  , и обращаясь в нуль лишь в одной точке . Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество положительных корней расположенных в интервалах , , т.е. имеет место неравенство
 (3.2)
Теперь изучим поведение корней  ,  при изменении параметра от 0 до  . Из уравнения имеем   ,
 , . (3.3)
Тогда: 1)  , , 2)  , .
При изменении параметра в пределах от 0 до 
 .
Следовательно,  ,  . (3.4)
По теореме о неявной функции корни  непрерывно дифференцируемо зависит от параметра [2.стр.95]. Продифференцировав уравнение по параметру , получим дифференциальное уравнение движения нулей , при изменении параметра .  , , где - знак дифференцирования по параметру . Преобразуем полученное дифференциальное уравнение, принимая во внимания исходное уравнение .
 ; ,  ,  ,  ,  ,  ,  . (3.5)
Следовательно, при изменении параметра в сегменте  функция принимает все значения из сегмента  монотонно возрастая от  до , /см. Рис.1/.
 /////  /////  /////…
Рис 1.
Оценим скорость стремления к своим граничным значениям корней , при применении параметра . По теореме Лагранжа [2.стр.16] имеем
 ,
 ,  ,
 , ,  , .
Нами доказана следующая теорема 3.1. жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
- произвольные постоянные зависящие, вообще говоря, от спектрального параметра λ. Подставив (2.2) в граничное условие (1.2), получим систему уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных 
, тогда
, поэтому величина 
, то