Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- О модуляторе элемента группы
- О ПРИЗНАКАХ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Муфтиллаева Ж.А.
- Введение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.
- 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
- 3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕМА 3.1. Если а)
Литература 1 Кулаков Г.Т. Инженерные экспресс− методы расчета промышленных систем регулирования. – Минск.: Вышэйшая школа, 1984. – 192 с. 2 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с. УДК 512. 54. О модуляторе элемента группы Мельникова Л. П. Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар Научный руководитель - Павлюк И. И. Предложение. Модулятор  элемента группы относительно отношения центральной сравнимости является абелевой группой.
Доказательство. То что  - подгруппа группы установлено в [1,2]. Если , то из  следует что  . Т.е. в этом случае абелева группа. Пусть  . Рассмотрим класс . Если  Ø, то  и аналогичные рассуждения как в начале абзаца, приведут нас к нужному заключению. Рассмотрим вариант когда  Ø. Так как  , то  и  . Так как  , а  - подгруппа группы [1], то  . Отсюда  , а  и  - абелева группа.
Предложение доказано. Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Павлюк Ин. И., Павлюк И. И. К теории сравнений в группах // Вестник ПГУ им. С. Торайгырова. Серия физико-математическая. Павлодар. ПГУ. 2004 г. №3. С. 34-49. Павлюк Инесса Отношение центральной сравнимости в теории групп //Доклады АН РТ.-2009.-Т. 52(8).-С. 593-597. УДК 517.91 О ПРИЗНАКАХ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Муфтиллаева Ж.А. Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш. Введение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве называется симметрическим, если , то есть если  и  для всех  .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Оператор называется самосопряженным, если Симметрический оператор всегда допускает замыкание, поскольку Для замкнутого симметрического оператора имеем а для самосопряженного оператора Отсюда видно, что замкнутый симметрический оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда симметричен. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Симметрический оператор называется в существенном самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. Если замкнут, то подмножество Если в существенном самосопряжен, то он имет одно и только одно самосопряженное расширение. Действительно, если предположить, что - самосопряженное расширение , то замкнут и из  получаем  . Отсюда  . Поэтому  .
Справедливо и обратное утверждение, а именно, если оператор имеет одно и только одно самосопряженное расширение, то - самосопряжен в существенном. Отметим, что симметрический оператор может иметь много самосопряженных расширений или совсем их не иметь. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим в гильбертовом пространстве  ,  , (1.1)
 (1.2)
где Спрашивается, при каких условиях на коэффициенты эти операторы окажутся самосопряженными в существенном? В связи с поставленной задачей отметим следующие известные результаты. ТЕОРЕМА 1.1 [1]. Если коэффициенты граничных условий действительные числа, то задача Штурма-Лиувилля (или оператор Штурма-Лиувилля) самосопряжена, тогда и только тогда, когда имеет место равенство  (1.3)
где  , (1.4)
составленной из коэффициентов граничного условия (1.2). Если коэффициенты комплекснозначны, то критерии самосопряженности имеет следующий вид [2]. ТЕОРЕМА 1.2 [2]. Пусть  , где  - положительна, производная  абсолютно непрерывна на интервале  , а функция  - непрерывна и действительна. Пусть
 . (1.5)
Формы самосопряжены тогда и только тогда, когда  (1.6)
Отметим, что если коэффициенты 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Для вывода основного результата настоящей работы были использованы следующие, легко доказываемые леммы. ЛЕММА 2.1. Если  непрерывна в сегменте и
 , (2.1)
 (2.2)
то при
существует обратный оператор , который имеет вид 
 . (2.3)
ЛЕММА 2.2. Интегральный оператор  , (2.4)
является сопряженным оператором к интегральному оператору  ,
в пространстве  . (2.5)
Следует отметить, что ядро ЛЕММА 2.3. Если существует обратный оператор к оператору Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2), сопряженный к которому имеет вид
 , (2.6)
где
 (2.7)
ЛЕММА 2.4. Если оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) является обратимым в пространстве   , то сопряженный оператор имеет следующий вид
 , (2.8)  (2.9)
ЛЕММА 2.5. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен тогда и только тогда, когда
 ,  , (2.10)
 .
ЛЕММА 2.6. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) обратим, замыкаем и имеет место формула
 (2.11)
ЛЕММА 2.7. Если   и   , то   .
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕМА 3.1. Если а) , (3.1)
 , б) , (3.2)
 ,
то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) самосопряжен в существенном в пространстве ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условий (3.1), (3.2) и леммы 2.5 оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен, а в силу леммы (2.6) он замыкаем. Замыкание любого симметрического оператора будет симметрическим оператором. Таким образом, замыкание оператора Штурма-Лиувилля является симметрическим оператором, область значений, которого  совпадает со всем пространством  (см.2.11).
Тогда в силу леммы 2.7 имеет место равенство ЛИТЕРАТУРА Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Харков, 1939, 717с. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: ИЛ, 1958, 474с. МӘНІСІ Бұл еңбекте SUMMARY In persisting work is received one sufficient sign самосопряженности in essential operator of the Shturm-Liuvillya: жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
, то есть 
.
плотно в . Если симметричен, то - замкнутое расширение . Поэтому наименьшее замкнутое расширение оператора 
. 
, 
. 
называется существенной областью определения оператора если замыкание сужения оператора на совпадает с .
- произвольные комплексные числа.
- миноры составленные из - го и - го столбцов матрицы
- 
из класса Гильберта-Шмидта.
.
, т.е. оператор самосопряжен, что и утверждалось теоремой 3.1.