Литература
1 Кулаков Г.Т. Инженерные экспресс− методы расчета промышленных систем регулирования. – Минск.: Вышэйшая школа, 1984. – 192 с.
2 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.
УДК 512. 54.
О модуляторе элемента группы
Мельникова Л. П.
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар
Научный руководитель - Павлюк И. И.
Предложение. Модулятор элемента группы относительно отношения центральной сравнимости является абелевой группой.
Доказательство. То что - подгруппа группы установлено в [1,2]. Если , то из следует что . Т.е. в этом случае абелева группа. Пусть . Рассмотрим класс . Если Ø, то и аналогичные рассуждения как в начале абзаца, приведут нас к нужному заключению. Рассмотрим вариант когда Ø. Так как , то и . Так как , а - подгруппа группы [1], то . Отсюда , а и - абелева группа.
Предложение доказано.
Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Литература
Павлюк Ин. И., Павлюк И. И. К теории сравнений в группах // Вестник ПГУ им. С. Торайгырова. Серия физико-математическая. Павлодар. ПГУ. 2004 г. №3. С. 34-49.
Павлюк Инесса Отношение центральной сравнимости в теории групп //Доклады АН РТ.-2009.-Т. 52(8).-С. 593-597.
УДК 517.91
О ПРИЗНАКАХ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Муфтиллаева Ж.А.
Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
Введение
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве называется симметрическим, если , то есть если и для всех .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Оператор называется самосопряженным, если , то есть тогда и только тогда, когда симметричен и .
Симметрический оператор всегда допускает замыкание, поскольку , а значит, область плотно в . Если симметричен, то - замкнутое расширение . Поэтому наименьшее замкнутое расширение оператора должно содержаться в , итак для симметрического оператора имеем
.
Для замкнутого симметрического оператора имеем
,
а для самосопряженного оператора
.
Отсюда видно, что замкнутый симметрический оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда симметричен.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Симметрический оператор называется в существенном самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. Если замкнут, то подмножество называется существенной областью определения оператора если замыкание сужения оператора на совпадает с .
Если в существенном самосопряжен, то он имет одно и только одно самосопряженное расширение. Действительно, если предположить, что - самосопряженное расширение , то замкнут и из получаем . Отсюда . Поэтому .
Справедливо и обратное утверждение, а именно, если оператор имеет одно и только одно самосопряженное расширение, то - самосопряжен в существенном.
Отметим, что симметрический оператор может иметь много самосопряженных расширений или совсем их не иметь.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим в гильбертовом пространстве ![](data:image/png;base64,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) операторов Штурма-Лиувилля
, , (1.1)
(1.2)
где - произвольные комплексные числа.
Спрашивается, при каких условиях на коэффициенты эти операторы окажутся самосопряженными в существенном?
В связи с поставленной задачей отметим следующие известные результаты.
ТЕОРЕМА 1.1 [1]. Если коэффициенты граничных условий действительные числа, то задача Штурма-Лиувилля (или оператор Штурма-Лиувилля) самосопряжена, тогда и только тогда, когда имеет место равенство
(1.3)
где - миноры составленные из - го и - го столбцов матрицы
, (1.4)
составленной из коэффициентов граничного условия (1.2).
Если коэффициенты комплекснозначны, то критерии самосопряженности имеет следующий вид [2].
ТЕОРЕМА 1.2 [2]. Пусть , где - положительна, производная абсолютно непрерывна на интервале , а функция - непрерывна и действительна. Пусть
. (1.5)
Формы самосопряжены тогда и только тогда, когда
(1.6)
Отметим, что если коэффициенты - действительны, то требуется только последнее условие.
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Для вывода основного результата настоящей работы были использованы следующие, легко доказываемые леммы.
ЛЕММА 2.1. Если непрерывна в сегменте и
, (2.1)
(2.2)
то при
существует обратный оператор , который имеет вид
. (2.3)
ЛЕММА 2.2. Интегральный оператор
, (2.4)
является сопряженным оператором к интегральному оператору
,
в пространстве ![](data:image/png;base64,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) тогда и только тогда, когда
. (2.5)
Следует отметить, что ядро из класса Гильберта-Шмидта.
ЛЕММА 2.3. Если существует обратный оператор к оператору Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2), сопряженный к которому имеет вид
, (2.6)
где
(2.7)
ЛЕММА 2.4. Если оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) является обратимым в пространстве ![](data:image/png;base64,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) , то сопряженный оператор имеет следующий вид
, (2.8) (2.9)
ЛЕММА 2.5. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен тогда и только тогда, когда
, , (2.10)
.
ЛЕММА 2.6. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) обратим, замыкаем и имеет место формула
(2.11)
ЛЕММА 2.7. Если ![](data:image/png;base64,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) и ![](data:image/png;base64,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) , то ![](data:image/png;base64,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) .
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ТЕОРЕМА 3.1. Если
а) , (3.1)
, б) , (3.2)
,
то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) самосопряжен в существенном в пространстве .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условий (3.1), (3.2) и леммы 2.5 оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен, а в силу леммы (2.6) он замыкаем. Замыкание любого симметрического оператора будет симметрическим оператором.
Таким образом, замыкание оператора Штурма-Лиувилля является симметрическим оператором, область значений, которого совпадает со всем пространством ![](data:image/png;base64,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) (см.2.11).
Тогда в силу леммы 2.7 имеет место равенство , т.е. оператор самосопряжен, что и утверждалось теоремой 3.1.
ЛИТЕРАТУРА
Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Харков, 1939, 717с.
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: ИЛ, 1958, 474с.
МӘНІСІ
Бұл еңбекте Штурм-Лиувилл операторының тегі жалқы болуының бір белгісі табылды.
SUMMARY
In persisting work is received one sufficient sign самосопряженности in essential operator of the Shturm-Liuvillya: with the general linear independent marginal condition.
Достарыңызбен бөлісу: |