Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
Литература Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.М. Основы теории групп // М.: Наука. 1982г. 284с. Павлюк И. И. Сравнения и проблема Черникова в теории групп (Монография)// ISBN 9965-568-78-1. Павлодар. ПГУ. 2002 г. С. 222. УДК 512. 54. теорема и. шура о конечности коммутанта группы Навалихина М. Ю., Ляшенко И. И. Павлодарский Государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар Научный руководитель – Павлюк И. И. Если в группе центр имеет конечный индекс, то коммутант этой группы конечен. Эта известная теорема теории групп доказана французским математиком И. Шура. Оригинальное ее доказательство (см. [1]) использует мономиальное представление [2, с.226] группы . Нам удалось найти абстрактное доказательство этого результата, используя лишь лемму Дицмана [1, с. 48] и теорему Пуанкаре [4] о конечности индекса пересечения конечного множества подгрупп конечного индекса. - группы – группы с конечными классами сопряженных элементов – довольно широкий класс групп. Он содержит в себе все конечные группы, все абелевы группы и, понятно, прямое произведение изоморфных копий конечных групп. Периодические же - группы – локально - нормальны [4]. Лемма 1. Факторгруппа  - группы по ее центру  является периодической группой.
Доказательство. Так как - группа с конечными классами сопряженных элементов (- группа), то каждый элемент группы имеет централизатор  в группе конечного индекса, т.е.  . Отсюда, очевидно,
 . (1)
Рассмотрим подгруппу группы  . (2)
Поскольку при образовании подгруппы участвует конечное множество подгрупп и каждая из них имеет конечный индекс в группе , то индекс  конечен (теорема Пуанкаре [4]). Поскольку группа составлена с конечного множества смежных классов  группы по подгруппе  , то элементы перестановочны с элементами и элементами подгруппы будут перестановочны со всеми элементами группы . Отсюда каждый элемент подгруппы содержится в центре  группа . Таким образом,  . Так как  и , то  ([3] следствие 1.6). Рассмотрим бесконечную циклическую группу,  порожденную произвольным элементом  . Очевидно,  состоит из всевозможных степеней элемента (положительных и отрицательных), где число взято из множества целых чисел . Так как , то  ([3] предложение 1.7). Поскольку пересечение  - подгруппа группы , то  , где - множество положительных целых чисел, т.е. начиная со степени все элементы содержатся в . Так как , то  . Очевидно, в факторгруппе  элемент  имеет конечный порядок. Отсюда любой элемент факторгруппы имеет конечный порядок, а вместе с этим группа периодическая.
Лемма доказана. Лемма 2. В - группе каждый коммутатор двух элементов имеет конечный порядок. доказательство. Пусть элемент  . Тогда  и  . Так как  ,  ,  , то  . Факторгруппа  (лемма 1) периодическая. Отсюда следует, что порядок элемента  из конечен. Так как при естественном гомоморфизме  образ коммутатора  есть коммутатор  . Поскольку гомоморфизм сохраняет произведение  . Отсюда следует, что коммутатор , где  , имеет конечный порядок. Далее, пусть - произвольный коммутатор элемент из . Так как коммутатор, то  . Поскольку , то  и  . Так как  , то  и  . Но  и  . Так как , то  . Отсюда  .
Лемма доказана. Теорема (И. Шур [1]). Если в группе центр имеет конечный индекс, то коммутант группы конечен.
Доказательство. (Новое доказательство) Так как  и , то  . Отсюда следует, что в группе классы сопряженных элементов конечны  [4]. Таким образом, --группа. Поскольку , то  и каждый коммутатор в имеет вид  , где  ,  . Очевидно,  . Так как  , то коммутаторов в группе конечное множество. Поскольку -- группа, то множество всевозможных коммутаторов и множество сопряженных к ним элементов так же будет конечно. Поскольку элемент, сопряженный  к коммутатору  есть коммутатор  и элемент  обратный к коммутатору, есть коммутатор  , а в силу леммы 2 коммутаторы группы имеют конечные порядки, то отмеченное множество является конечным инвариантным множеством элементов конечного порядка. По лемме Диумана [1]  , порожденная всевозможными коммутаторами, конечна.
Теорема доказана. Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем. жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|