Байланысты: Жазық фигураның жазықтыққа ортогональ проекциясы және оның ауданы.
Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость Теорема. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость есть произведение площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Д оказательство. Докажем теорему на примере треугольника. Пусть дана плоскость и треугольник АВС. Рассмотрим общий случай, когда плоскость и плоскость треугольника лежат под некоторым острым углом друг к другу. Для упрощения решения плоскость проведем через одну из сторон треугольника, например сторону АВ. Значит после проектирования точки А и В передут в себя, а точка С переедет в точку К. В треугольнике АВС проведем высоту СН из вершины С. В треугольнике АВК соединим точки К и Н. Прямая КН перпендикулярна прямой АВ (КН – проекция прямой СН на плоскость , СН АВ, КН АВ по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, угол СНК – двугранный угол между плоскостями, обозначим его за . Выразим площадь треугольников АВС и АВК и найдем их отношение:
1. Теорема о площади ортогональной проекции плоской фигуры Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным. Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называют множество точек пересечений с этой плоскостью перпендикулярных к ней прямых, проходящих через все точки этой фигуры. В общем случае справедлива следующая теорема. с площадью SФ, а фигура ФЕсли фигура Ф с площадью SФ лежит в плоскости , то имеет место равенствоявляется ортогональной проекцией фигуры Ф на плоскость ,cos SФ SФ . и – угол между плоскостями где В школьном курсе стереометрии приведённая теорема формулируется и доказывается лишь для случая, когда проектируемая фигура – плоский многоугольник. В этом случае формулировка имеет вид: . cos Sмн между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Sпр Площадь Sпр ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади мн S , умноженной на косинус угла
