Комплекс облыстағы қатарлар Комплекс мүшелі сандар қатары және оның жинақтылығы
Функцияның экстремумдары бар болуының жеткілікті шарттары
жүктеу/скачать 69,71 Kb.
|
Функцияның экстремумдары- үлгі
| Функцияның экстремумдары бар болуының жеткілікті шарттары.
Теорема 2.3.2 Егер функциясы анықталған сегментіндегі сындық нүктесінің маңайында төмендегі шарттардың бірі орындалса: a) болғанда болғанда болса, яғни аргумент нүктесі арқылы өткенде туындының таңбасы плюстен минуске ауысса, онда нүктесі максимум нүктесі; б) болғанда болғанда болса, яғни аргумент арқылы өткенде туындының таңбасы минустен плюске ауысса, онда нүктесі минимум нүктесі; в) аргумент ден өткенде туындының таңбасы өзгермесе, онда нүктесінде экстремум жоқ. Дәлелдеу. Егер және болса, Лагранж теоремасы бойынша: (мұнда нүктесі пен нің арасында жатады). а) Жағдайы орындалады деп жориық. Егер болса, болады, сол себепті ал, егер болса, болады. Сондықтан
Демек, тің маңайындағы барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалады, яғни берілген функцияның максимумы болып табылады. Функцияның б) жағдайында минимумы бар болатыны да осылай дәлелденеді. Енді в) жағдайын зерттелік. Бұл жағдайда аргумент ден өткенде тің таңбасы өзгермейді. Ал интервалындағы сындық нүкте арқылы өткенде, көбейтіндісі, демек айырымының таңбасы өзгереді. Сондықтан да нүктесінде функцияның экстремумы жоқ болады. Бұл дәлелденген теоремадан функция экстремумдарын іздеп табудың мынадай практикалық ережесі шығады: Ереже 1. функциясының максимумы мен минимумдарын табу үшін туындысын есептеп, оны нольге теңестіріп, нәтижесінде пайда болған теңдеуін шешу қажет. Сонан кейін шексіздікке айналатын немесе ол мүлдем жоқ болатын нүктелерді табу керек. Бұл нүктелер мен теңдеуінің түбірлері функциясының сындық нүктелері болады. Сонан соң әрбір сындық нүктенің сол жағы мен оң жағында тің таңбасы қандай екенін анықтау керек. Егер сындық нүктеден өткенде тің таңбасы -ке ауысса, ол нүктеде функциясының минимумы бар болады. Мысал 2.3.1 функциясының экстремум нүктелері мен экстремумдық мәндерін табу керек. Шешу. Әуелі туындысын табамыз. Бұл туынды әрқашан ақырлы. Сондықтан тің теңдеуінің түбірлері болатын мәндері, яғни нүктелері сындық нүктелер болады. мейлінше аз сан деп аламыз. Сонда және болады да, берілген функцияның нүктесінде экстремумы жоқ болады. үшін . Сондықтан берілген функция үшін максимум нүктесі болады да, функцияның максимумдық мәні . жүктеу/скачать 69,71 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|