Мысал функциясының байланыс теңдеуі болатын шартты экстремумын табу керек.
Шешуі теңдеуіне сәйкес шарты экстремумын табу үшін Лагранж функциясын құрамыз:
.
Сонда
.
Демек, мына теңдіктер орындалуы керек:
Осыдан және .
Ал
,
сондықтан, егер деп алсақ,
Яғни, және . Демек, бұл нүктеде функцияның шартты минимумы бар болады.
Ал болса, онда
Яғни, және . Ендеше бұл нүктеде функцияның шартты максимумы бар болады.
Сонымен .
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.
Шенелген D аймағының тұйықталуында функциясының ең үлкен (ең кіші) мәндері осы аймақтың ішінде жатқан экстремумға күдікті нүктелердің біреуінде немесе D аймағының шекаралық нүктелерінде болуы мүмкін. Сондықтан функцияның ең үлкен (ең кіші) мәнін табу үшін, алдымен аймақтың ішіндегі экстремумға күдікті барлық нүктелерді тауып, бұл нүктелердегі функция мәндерін, аймақтың шекарасындағы экстремумға күдікті нүктелеріндегі мәндерімен салыстырамыз. Осы табылған мәндердің ең үлкені (ең кішісі) функцияның осы облыстағы мәндерінің ең үлкені (ең кішісі) болады.
Мысал 7 функциясының мына аймақтағы ең кіші және ең үлкен мәндерін табу керек.
Шешуі Күдікті нүктелерін табамыз:
Осыдан . Күдікті нүкте және . Шеңбер доғасының бойында , сондықтан . Осы бір айнымалды функцияның кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табамыз. болғандықтан күдікті нүкте. Бұл мәнге шеңбердің екі нүктесі сәйкес келеді. . . Кесіндінің шеткі нүктелеріне мына нүктелер сәйкес келеді: , . Сол сияқты z функцияның шекарадағы өзгерісін қарастырамыз. Бұл жағдайда Функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін келесі нүктелерде қабылдауы мүмкін: . Бұл нүктелерде . Ендеше , .
Достарыңызбен бөлісу: |
