Теорема11. (Гейнс-Борель). Из любого покрытия компактного метрического пространства открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Эта теорема непосредственно следует из теорем 9 и 6 и следствии теоремы 8. В самом деле, так как компактное метрическое пространство имеет счётную базу, то из любого покрытия открытыми множествами можно выделить счётное покрытие, а в силу компактности из счётного покрытия можно выделить конечное.
Нам придётся в дальнейшем встречаться с локально-компактным пространством. Пространство R называется локально-компактным, если каждая точка p R имеет такую окрестность U (р), что U (р) есть компактное множество.
Примером локально-компактного пространства может служить — бесконечная числовая прямая, а также любое пространство . Нам придётся пользоваться одним свойством локально-компактного (метрическою) пространства.
