Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений



бет3/28
Дата08.02.2022
өлшемі1,95 Mb.
#118559
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28
Байланысты:
Лекции Word

Лекция 2.

Пусть


— автономная нормальная система уравнений порядка n и



— векторная ее запись.


Решение системы (1) вида , где а—постоян­ный вектор, называется положением равновесия (или точкой покоя).


Очевидно, что если — положение равнове­сия, то f(a)=0, и наоборот, если f(a)=0, то — положение равновесия.
Пусть —решение динамической системы (1), определенное при . Число c называется периодом решения , если при всех t.
Обозначим через F множество всех периодов ре­шения (это множество непусто, так как ).
Докажем следующие свойства множества F.
1. Если , то .
Доказательство. Так как с период, то . Заменяя в этом равенстве t на , получим , т.е. –с является периодом.
2. Если , то .
Доказательство следует из равенств

3. F — замкнутое множество.
Доказательство. Пусть —сходящаяся последовательность периодов и . Тогда в силу непрерывности имеем

Таким образом, и, следовательно, F — замкну­тое множество.
Теорема. Пусть траектория динамиче­ской системы (1) сама себя пересекает. Тогда реше­ние может быть продолжено на интервал и имеет место одна из следующих возможностей:
1) , т. е. решение является положе­нием равновесия;
2) существует такое число Т > 0, что при всех t, но при .
В случае 2) решение называется перио­дическим, а его траектория—замкнутой траекторией или циклом.
Доказательство. Пусть решение определено при а < t < b. По предположению траектория решения сама себя пересекает, т. е. существуют такие числа , что

В силу свойства 2 решений динамических систем,


, (2) (2)
где -
Функция является решением системы (1), определенным при а — с < t < b — с, и, кроме того, в силу (2), эти решения совпадают на общей части их областей определения, т. е. при а < t< b — с. Следовательно, решение

является продолжением решения на интер­вал (а — с,b). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения , определенное на интервале .
С помощью равенства , которое получается из (2) заменой t на t — с, получим про­должение решения с интервала на всю числовую ось .
Итак, решение можно считать опреде­ленным при < t < , причем, как явствует из самого способа продолжения, постоянная является периодом этого решения.
Пусть F — множество периодов решения . Могут представиться две возможности:
а) F содержит сколь угодно малые положитель­ные числа,
б) в F найдется наименьшее положительное чи­сло Т.
В случае а) существует сходящаяся к нулю по­следовательность положительных периодов .
Пусть t — произвольное действительное число. Дробные части

чисел образуют ограниченную последовательность, а так как , то

Числа будучи целыми кратными перио­дов , сами являются периодами решения . По­этому
. (3) '3>
Переходя в равенстве (3) к пределу при , по­лучим
.
Таким образом, решение в случае а) является положением равновесия.
В случае б)

Покажем, что при 0 < | |< Т. Предположим противное. Тогда найдутся такие , (0 < | |< Т), что . В силу свой­ства 2, где . Таким образом служит периодом решения . В силу свойства 1 множества F, положительное число | |= также является периодом, а это про­тиворечит предположению, что Т—наименьший по­ложительный период решения . Теорема дока­зана.
Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующее
Следствие. Траектория любого непродолжаемого решения динамической системы (1) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траек­торией, либо траекторией без самопересечений.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет