Мақсаты: Ақпаратты қорғаудың криптографиялық әдістерін меңгеру. Санау жүйесі

Сандарды р санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін, осы жүйедегі санды:

қосындысы түрінде жазып, ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындау керек.

1010101,101=1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2 ^-1+0*2 ^-2+1*2^-3

Осы қосындыда арифметикалық операцияларды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес келеді. Яғни:

Жауабы: 1010101,101₂ = 85,625₁₀.

2-Мысал: 357 сегіздік санын ондық санау жүйесіне ауыстырайық.

357₈ = 3*8²+5*8¹+7*8⁰ = 239₁₀.

3Е5А1₁₆ = 3*16⁴+E*16³+5*16²+A*16¹+1*16⁰

Ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындай отырып және А=10, Е=14 екенін ескере отырып аламыз:

Жауабы: 3Е5А1₁₆ = 255393₁₀.

Сандарды ондық санау жүйесінен р санау жүйесіне ауыстыру

А) 1-ереже (Бүтін ондық сандарды р санау жүйесіне ауыстыру ережесі):

Бүтін ондық санды р санау жүйесіне ауыстыру үшін осы санды қалдықтарын белгілеп ала отырып, бөлінді бөлгіштен кіші болғанша р-ға бөле беру керек. Нәтижесінде қалған бөліндіден бастап, оңнан солға қарай қалдықтарды бір қатарға жаза отырып, ондық санның р санау жүйесінде жазылу түрін аламыз.

Мысалы, ондық санау жүйесіндегі 75 санын екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне ауыстырайық.

Ондық бөлшек сандарды р санау жүйесіне ауыстыру үшін осы бөлшекті р-ға көбейту керек. Алынған көбейтіндінің бүтін бөлігі бөліп алынады, бөлшек бөлігі тағы да р-ға көбейтіледі. Осылайша бөлшек бөлігінде 0 шыққанша немесе периоды анықталғанша, бүтін бөлігін бөліп ала отырып р-ға көбейте береміз. Нәтижесінде бүтін бөлігін солдан оңға қарай бір қатарға жаза отырып, бөлшек санның р санау жүйесінде жазылу түрін аламыз.

Мысалдар қарастырайық.

4-мысал: 0,6875 бөлшегін екілік санау жүйесіне ауыстырайық.

0,6875 0,375 0,75 0,5

2 2 2 2

1,3750 0,750 1,50 1,0

0,3*2=0,6

0,6*2=1,2

0,2*2=0,4

0,4*2=0,8

0,8*2=1,6

0,6*2=1,2

0,6 бөлшек бөлік есептеудің екінші қатарында болған еді. Сондықтан есептеулер қайталана бастайды. Демек, екілік санау жүйесінде 0,3 периодты бөлшек түрінде ұсынылады. 0,3₁₀ =0,0(1001)₂

0,121 0,936 0,976 0,616 0,856 0,696

16 16 16 16 16 16

0726 5616 5856 3696 5136 4176

0121 936 976 616 856 696

1,936 14,976 15,616 9,856 13,696 11,136

Б) 3-ереже (Аралас санды р санау жүйесіне ауыстыру ережесі):

Аралас санды р санау жүйесіне ауыстыру үшін, осы санның бүтін бөлігі жеке, бөлшек бөлігі жеке ереже бойынша ауыстырылады. Содан кейін алынған нәтижелер үтір арқылы бірге жазылады.

7-мысал: 123,1875 санын сегіздік санау жүйесіне ауыстырайық:

123:8=15(3) 0,1875*8=1,5

15:8=1(1) 1,5*8=4,0 123,1875₁₀=173,14₈

1:8=0(1) 0,1875=14₈

123=173₈
Санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар.

Негізгі арифметикалық амалдар: қосу, азайту, көбейту және бөлуді қарастырайық. Бұл амалдарды ондық жүйеде орындау ережесі бәрімізге белгілі – олар қосу, азайту, көбейту бағандап, ал бөлу бұрыштап орындалады. Бұл ережелер басқа санау жүйелерінде де қолданылады, тек әр жүйе үшін өздерінің қосу және көбейту кестелерін қолдану керек.

Қ о с у .

Қосу амалында цифрлар разрядтары бойынша қосылады, және тасымалдау есебімен сәйкес разрядтарды қосуға алып келеді

Екілік жүйеде қосу

Сегіздік жүйеде қосу

Он алтылық жүйеде қосу

              

 8-мысал. Әр түрлі санау жүйелерінде 15 және 6 сандарын қосайық.

Ондық жүйеде: 15₁₀+6₁₀ Екілік жүйеде: 1111₂+110₂ Сегіздік жүйеде: 17₈+6₈


     

Он алтылық жүйеде: F16+616

Жауабы: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.  Тексеру. Алынған қосындыларды ондық түрге келтіреміз: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,  258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21,  1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

9-мысал. 141,5 және 59,75 сандарын қосамыз.

Ондық жүйеде: 141,5₁₀ + 59,75₁₀ Екілік жүйеде: 10001101,1₂ + 111011,11₂

Жауабы: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

А з а й т у

Әр түрлі санау жүйелерінде сандарды азайту үшін, кіші разрядтан бастап азайтуды бағандап орындаймыз. Жетпейтін бірлікті көрші (үлкен) разрядтан аламыз.

10-мысал. 10₂, 10₈ және 10₁₆ сандарынан 1-ді азайтамыз.

Екілік жүйеде: 10₂ – 1₂ Сегіздік жүйеде: 10₈ – 1₈ Он алтылық жүйеде: 10₁₆ - 1₁₆     

     
   
  11-мысал. 201,25 санынан 59,75 санын азайтамыз.

Ондық жүйеде: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ Екілік жүйеде: 11001001,01₂ – 111011,11₂

Сегіздік жүйеде: 311,2₈ – 73,6₈ Он алтылық жүйеде: С9,4₁₆ – 3В,С₁₆

 
Жауабы: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Тексеру. Алынған айырмаларды ондық түрге келтіреміз:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 5 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8 ^. 16¹ + D ^. 16⁰ + 8 ^. 16^-1 = 141,5.

К ө б е й т у

Әр түрлі санау жүйелерінде көп қатарлы сандарды көбейту үшін, бағандап көбейтудің кәдімгі алгоритмін қолданамыз, тек бұл кезде бір қатарлы сандарды көбейту мен қосу нәтижелерін, қарастырылып отырған жүйенің көбейту және қосу кестелерінен алу керек.

Екілік жүйеде көбейту

Сегіздік жүйеде көбейту

Он алтылық жүйеде көбейту

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

12-мысал. Әр түрлі санау жүйелерінде 5 және 6 сандарын көбейтейік.

Ондық жүйеде: 5₁₀*6₁₀ Екілік жүйеде: 101₂*110₂ Сегіздік жүйеде: 5₈*6₈

Жауабы: 5 ^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.
Тексеру. Алынған көбейтінділерді ондық түрге келтіреміз:
11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 3*8¹ + 6*8⁰ = 30.

13-мысал. 115 және 51 сандарын көбейтеміз.

Ондық жүйеде: 115₁₀*51₁₀ Екілік жүйеде: 1110011₂*110011₂ Сегіздік жүйеде: 163₈*63₈

Жауабы: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.
Тексеру. Алынған көбейтінділерді ондық түрге келтіреміз:
1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1 ^. 8⁴ + 3 ^. 8³ + 3 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ = 5865.

жүктеу/скачать 112,52 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: