Мысал 2.5.1. f(x)= функциясының ең үлкен мәнін есептеу керек.
Шешуі: Функцияның анықталу облысында Бернулли теңсіздігін екі рет пайдаланатын болсақ: =1-
Осы теңсіздіктерді қосып жіберейік
f(x)= +
(екі теңсіздіктің әрқайсысында да) теңсіздік x =0 мәнінде ғана теңдікке айналады. Сондықтан f(о) = 2 — функцияның ең үлкен мәні болады
Жауабы: Соңында бірнеше нақты сандарға арналған жалпыланған Бернулли теңсіздігін қарастырайық.
Теорема 3 (n сан үшінБернулли теңсіздігі). Айталық, — таңбалары бірдей болатын сандар болсын, i=1,2,…,n . Сонда
Дәлелдеу. (математикалық индукция әдісін пайдалану арқылы).
1) Алдымен n = 1 болғанда, теңсіздік ақиқат, яғни орындалады.
2) n = kмәні үшін, яғни
болғандағы теңсіздік ақиқат, яғни орындалады деп есептеп, n = k + 1, яғни
теңсіздігі ақиқат болатынын көрсетейік.
Шынында да,
=1+ + + 1+ + себебі +
3) Алынған k мәні кез келген натурал сан бола алатындықтан, берілген теңсіздік барлық натурал n сандары үшін орындалатындығы ақиқат болады. Ал теңсіздік егер n = 1 немесе болғанда ғана теңдікке айналады.
Дербес жағдайда, болғанда, алынады.
Қарастырылған Бернулли теңсіздігін пайдалануға мысалдар қарастырайық.
Мысал 2.5.2. Сандарды салыстырыңыздар және .
Шешуі: 1) (1)
2) санын классикалық Бернулли теңсіздігін пайдалана отырып 4 санымен салыстырайық.
Мынадай орындалатындығы айқын.
Сонда Бернулли теңсіздігін пайдалана отырып мынадай теңсіздікке келтіруге болады:
(2)
Ал (1) мен (2) бойынша, шығады.
