Бернулли теңсіздігін швейцар математигі, ықтималдықтар теориясы мен математикалық талдаудың негізін салушылардың бірі Якоб Бернулли дәлелдеген.
Бернулли теңсіздіктерінің маңыздылығы олардың көрсеткіштік және дәрежелік функцияларды сызықтық функциялармен салыстыруға мүмкіндік беретіндігінде. Бернулли теңсіздіктері көрсеткіштік функцияның қасиеттерін дәлелдеуде, екінші тамаша шекті табуда пайдаланылады. Ал екінші тамаша шек көрсеткіштік функцияның туындысын есептеу үшін қолданылады.
Теорема 1 (натурал көрсеткіштерге арналған Бернулли теңсіздігі).Кез келгенx ( )саны мен кез келген натуралnсаны үшін мынадай теңсіздік орындалады
Дәлелдеу. Дәлелдеу үшін ( n параметрі бойынша) толық математикалық индукция әдісін пайдаланайық
1) Алдымен n=1 мәні үшін: , яғни теңсіздік орындалады.
2) n = kмәні үшін, яғни теңсіздігі теңсіздікті ақиқат деп есептейік те, n=k+1үшін, яғни теңсіздігі орындалатынын көрсетейік. Шынында да,
=
3) Алынған k мәні кез келген натурал сан бола алатындықтан, берілген теңсіздік барлық натурал n сандары үшін орындалатыны ақиқат болады. Айта кететіні, Бернулли теңсіздігі тек x = 0 немесе n = 1 мәндерін қабылдағанда ғана теңдікке айналады.
Теңсіздіктегі көрсеткіш натурал санның орнында кез келген нақты сан болған жағдайдағы Бернулли теңсіздігін дәлелсіз тұжырымдамасын көрсетейік.
Теорема 2 (көрсеткіштері кез келген сан болғандағы Бернулли теңсіздігі). Айталық,болсын. Сонда мынадай теңсіздіктер орындалады
егер 0 егер сонымен қатар, теңсіздік x = 0мәнін қабылдағанда ғана теңдікке айналады.
Көрсетілген Бернулли теңсіздігін пайдалануға мысалдар қарастырайық.
