Мысал 2.3.16. Теңдеуді шешіңіздер:
Шешуі: Бұл теңдеуді шешу үшін Коши теңсіздігінің 1-салдарын пайдаланамыз (***). Берілген теңдеудің сол жағын мына түрде жазып алайық:
, демек .
Теңдеудің оң жағын мына түрде жазып көрсетуге болады:
. Демек, .
Теңдеудің оң жағы мен сол жағы тең болғанда ғана теңсіздік теңдікке айналады. Демек тек х = 1 болған жағдайда ғана теңдікке айналады. Тексеру арқылы х = 1 теңдеудің шешімі болатынына көз жеткіземіз. Жауабы: х = 1.
Мысал 2.3.17. Ұшақ А портынан В портына жел бойымен және кері бағытта желге қарсы үшқаны белгілі, сонымен қатар желдің жылдамдығы өзгермеген. Келесі күні ұшақ рейсі сол маршрут бойынша желсіз күні жүргізілген. Екі күнде де ұшақ моторының қуаты бірдей болған деп есептеп, қай күні рейстерді орындауға уақыт аз кеткенін анықтаңыздар.
Шешуі: Ұшақтың жылдамдығын х км/сағ, ал желдің жылдамдығын у км/сағ деп белгілейік. Алғашында ұшақтың жолына , ал екінші ретінде кетеді, мұндағы S –АВ ара қашықтығы.
= - , ал енді екенін ескерейік.
Сонда < демек, екінші ретінде ұшақтың жолына уақыт аз кетеді.
Жауабы : жел болмаған жағдайда ұшу уақыты аз болады.
Мысал 2.3.18. Қабырғасы a болатын квадрат формалы темірдің бір бетінен тікбұрышты параллелепипед формасындағы қорап дайындалған. Параллелепипед формасына келтіру үшін темір бетінен төрт квадрат бөлігі кесіліп алынған және шыққан фигураны кесу сызықтарының бойымен бір-бірімен қосып жалғастырған. Қораптың көлемі ең үлкен болатындай дайындалу материалдарының өлшемдері қандай болуы кректігін анықтаңыздар.
Шешуі: суреттерін салайық
Сурет4. Квадраттан қорап шығару
Квадраттың қабырғасын х арқылы белгілейік. Сонда қораптың түбіндегі квадраттың қабырғасы a − 2x, ал биіктігі х-ке теі болады. Қораптың көлемі: немесе оны басқаша жазатын болсақ
Коши теңсіздігін пайдаланайық :
.
Осыдан . Көлемнің ең үлкен мәні x болғанда және ол
Жауабы : қорап көлемінің ең үлкен мәні .
Мысал 2.3.19. Он бір футбол ойыншыларының орташа жасы 28 жас. Ойын кезінде бір ойыншы ойын алаңынан шығарылды, нәтижесінде қалған ойыншылардың орташа жасы 27-ге тең болды.. Ойыннан шығарылған ойыншы қанша жаста?
Шешуі: Он бір футбол ойыншыларының орташа жасын арифметикалық ортаны табу формуласы бойынша табайық, яғни формула бойынша , ал он футбол ойыншыларының орташа жасының формуласы .
Екі теңдеуден жүйе құрып, шешімін табатын болсақ:
, осыдан шығатыны а11 = 308 – 270 = 38.
Жауабы : Ойыннан шығарылған ойыншы 38 жаста.
Мысал 2.3.20. Егер мынадай a, b, c оң сандары және n- натурал саны үшін мынадай теңсіздік орындалатынын дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі. Коши теңсіздігін екі рет пайдаланайық.
теңсіздік белгіленді. Теңдікке қандай мәндерде жететінін анықтау керек. мәселесін талқылайық. Жасалған бағалаулардың біріншісінде теңдік белгісі орын алатын тек мынадай жағдайда
Соңғы қатынастардың a=b=c шартына эквивалентті екенін көрсетейік. Шынында да, жазылған теңдік мынадай жүйеге эквивалентті.
Жүйедегі бірінші теңдеуден алғанда, , соңғы теңдіктен шығатыны болғандықтан, деген қорытынды шығады. Осыған ұқсас болатыны дәлелдеуге болады. a, b, c сандары тең болғанда жүргізілген түрлендірулердегі екінші теңсіздік те теңдікке айналатыны анық.
Достарыңызбен бөлісу: |
