орындалатынын дәлелеудеу керек.
Шешуі. және болатындай және кесінділерін қарастырамыз.
Мұнда
болатынын көруге болады. Онда кез келген үшбұрыш үшін орындалатынын ескерсек, онда берілген
теңсіздігінің орындалатынын аңғару қиын емес.
Мысал 2.8.7. Сүйір бұрышты АВС үшбұрышының АВ және АС қабырғаларының орталарын сәйкесінше М және N деп белгілейік. Олай болса, ВС қабырғасынан алынған кез-келген S нүктесі үшін болатынын дәлелдеңдер.
Егер S нүктесі ВС қабырғасының ортасы болса,
Егер S болса, <МДВ< <МДS, сондықтан МВ<МS
МВ-МS<0 0
Егер S болса, керісінше болады.
Сурет 5. Үшбұрыштағы теңсіздікті дәлелдеу
Мысал 2.8.8. теңсіздігін дәлелдеу керек.
Шешуі.Егер немесе болса, онда теңсіздік орындалатыны айқын. және жағдайларын қарастырайық. Мұндай -лар үшін болатын АВСD дельтоидын құруға болады.
Сурет 6. АВСD дельтоиды
Онда
Коши-Буняковский теңсіздігін үшбұрыштардың элементтері арасындағы түрлі теңсіздіктерді дәлелдеу үшін қолдануға болады. Ол үшін мынадай белгілеуер қолданылады: Үшбұрыштың қабрығалары a, b, c ретінде, бұрыштары ретінде, ал үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустар сәйкесінше r, R, ал медианалары , биіктіктері арқылы белгіленсін.
Мысал 2.8.9. Теңсіздікті дәлелдеу керек: .
Дәлелдеуі. Коши-Буняковский теңсіздігін және мынадай тепе-теңдікті: , теңсіздіктерін, теңсіздігін, теңсіздігін, теңдіктерін қолданайық, сонда
Теңсіздік теңдікке тек үшбұрыш тең қабырғалы болғанда ғана орындалады.
Демек, .
