2.8 Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану
Коши-Буняковский теңсіздігі дәлелдеуде, геометриялық есептерді шешуде, тригонометриялық теңдеулерді шешуде, сонымен қатар функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда қолданылады.
а) дәлелдеулерде:
Мысал 2.8.1. Кез келген a,b,c нақты сандары үшін теңсіздігі ақиқат болатынын дәлелдеңдер [18, 69 б.].
Дәлелдеу. Теңсіздікті келесі түрде жазамыз:
, сондықтан бұл анық ақиқат теңсіздік, өйткені бұл Коши-Буняковский теңсіздігінің ерекше жағдайы.
Мысал 2.8.2. Кез келген үш нақты сандар үшін егер болса, онда теңсіздігі ақиқат болатынын дәлелдеңдер [25, 27 б.].
Дәлелдеу. Коши-Буняковский теңсіздігі мына теңсіздікті береді:
,
Яғни , бірақ шарты бойынша, онда , демек, .
б) геометриялық есептерді шығарғанда:
Мысал 2.8.3. Мынадай функцияның ең үлкен мәнін есептеңіздер
Шешуі. Алдымен функцияның (AO) анықталу облысын тауып алайық:
Мынадай векторларды қарастырайық: Екі вектордың скаляр көбейтіндісін табайық:
Векторлардың ұзындықтарын табатын болсақ:
;
Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша болғандықтан,
.
Енді қандай да бір мәні үшін берілген функция 41-ге тең мәні болатынына көз жеткізейік. Ол үшін аралығында теңдеуінің шешімі бола ма, соны тексеру қажет. Сонымен қатар, басқаша да жасауға болады, яғни айнымалының қандай мәнінде векторлары бірдей бағытталғандығын анықтау қажет. Ол мынадай теңдік дұрыс болғанда орындалады:
Осыдан пропорция қасиеті бойынша
Демек функцияның ең үлкен мәні
Жауабы: функцияның ең үлкен мәні
Мысал 2.8.4. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемін анықтаңыз, егер оның өлшемдері қатынасын қанағаттандырса, ал диагоналы -ке тең болса.
Шешуі. Тік бұрышты параллелепипед үшін .
болғандықтан, .
Коши-Буняковский теңсіздігін қолдансақ, онда
Есептің шарты бойынша болғандықтан, жоғарыда қолданылған Коши-Буняковский теңсіздігі теңдікке айналады, сондықтан теңдіктер тізбегі орындалады. Осыдан аламыз. Бұл жағдайда теңдігінен немесе болатыны шығады. Демек, және параллелепипедтің көлемі болады.
Жауабы : 7680.
в) тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде:
1-есеп. теңдеуін шешіңіз.
Шешім. Берілген теңдеу тең. Ары қарай, екі бұрыштың синусы арасындағы айырмашылық формуласын қолданып, мына теңдеуді аламыз:
немесе .(1)
Коши-Буняковский теңсіздігін (1) теңдеудің сол жағына қолданамыз, содан кейін . Осыдан , яғни болатыны шығады, сондықтан теңдеудің түбірі жоқ.
Жауабы: түбірлері жоқ
г) функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін тапқанда:
Мысал 2.8.5. болсын. функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
Шешім. Коши-Буняковский теңсіздігін қолданайық, содан кейін
Демек , мәнін аламыз.
Енді көрсетейік. Коши-Буняковский теңсіздігі болған жағдайда ғана теңдігіне айналатыны белгілі, бұдан былай шығатыны белгілі. .
Себебі , онда .
Бұл жағдайда:
Жауабы:
Достарыңызбен бөлісу: |
