2.10 Чебышев теңсіздігі және оны пайдалану
Орташа қуат мәндерін және олардың арасындағы қатынастарды зерттей отырып, тиісті теңсіздіктерге кіретін айнымалыларға қатысты талаптар қойылмады. Алайда, мұндай қосымша шектеулерді ескере отырып, әртүрлі жаңа қатынастар пайда болды. Мұндай қатынастардың мысалы ретінде Пафнутый Львович Чебышев атындағы тамаша теңсіздікті келтіруге болады.
Оң сандардан тұратын екі тізбек берілсін: және . Егер барлық k,m номерлері үшін теңсіздігі орындалса, онда екі тізбек бірдей реттелген деп аталады, және болса, онда екі тізбек кері реттелген деп аталады.
Тізбектер үшін мынадай тұжырым дұрыс болады: егер және - бірдей реттелген оң сандардың тізбектері болса, және – салмақтар тізбегі болса,онда мынадай теңсіздік орындалады:
Ал кері реттелген тізбектер үшін мына теңсіздік орындалады:
Теорема 1. Кез келген кемімейтін (немесе өспейтін) және тізбегі үшін келесі теңсіздік орындалады:
Бұл теңсіздік Чебышев теңсіздігі деп аталады.
Дәлелдеу. Чебышев теңсіздігіне эквивалентті теңсіздікті қарастырайық:
Оның сол және оң жақ бөліктерінің айырмасын құрастырып, содан кейін түрлендірейік:
Дегенмен, туындылардың әрқайсысы: мұндағы теріс емес, өйткені шарт бойынша және тізбегіне бір уақытта кемімейді, не бірмезгілде өспейді (монотонды), бұлЧебышев-эквивалентті теңсіздіктің сол және оң бөліктерінің айырмасының теріс еместігін дәлелдейді. Теорема дәлелденді.
Теорема 2. және , мұндағы нақты сандардың бірдей реттелген тізбегі және оң сандары болсын, болғанда, онда келесі теңсіздік орындалады:
оның үстіне бұл қатынас егер тек , немесе болғанда ғана теңдік нұсқасында жүзеге асырылады.
Теорема 3. Кез келген нақты және үшін кез келген нақты оң сандар мен , ( ) , және тізбегі бір монотонды болғанда (атап айтқанда, және болса), келесі теңсіздік орындалады:
.
Чебышев теңсіздігін қолдануға мысалдар қарастырайық.
Чебышев теңсіздігі олардың арасындағы қатынастың орташа қуат мәндерін байланыстырады. Ол теңсіздіктерді дәлелдеуде кеңінен қолданылады.
а) теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде:
Достарыңызбен бөлісу: |
