2.11 ИоганВиллем Людвиг Вальдемар Йенсен Иоганн Йенсен – Данияның көрнекті математигі және инженері болған. Йенсен 1859 жылы 8 мамырда Данияның Наксков қаласында дүниеге келген, бірақ балалық шағының көп бөлігін әкесі сонда жұмысқа орналасуына байланыст Швецияның солтүстігінде өткізген. Кейін Данияға қайтып келген. 1876 жылы Йенсен Копенгаген технологиялық колледжіне оқуға түседі. Аталған колледжде Йенсен математика пәнін жақсы оқыған және алғашқы математикалық мақаласын сол колледжде оқып жүргенде жазған. Бірақ Йенсен математиканы негізінен өзінің табандылығы мен оқуға деген ынтасының арқасында үйренген және оның ешқашандай академиялық лауазымдары болмаған. 1881-1924 жылдар аралығында Йенсен Копенгаген телефон компаниясында жұмыс істеп, 1890 жылы техникалық бөлімнің бастығы қызметіне көтерілген және бос уақытында математика мен өз бетінше айналысуын жалғастырған.
Иоганн Йенсен өзі дәлелдеген белгілі теңсіздіктің арқасында Данияның көрнекті әрі танымал математигі бола білген. Иоганн Йенсен 1915 жылы Йенсен формуласын комплекстік анализ бойынша дәлелдеген.
1862 жыл мен 1903 жылдар аралығында Данияның Математикалық қоғамының президенті болған.
2.12 Йенсен теңсіздігі және оны қолдану Теорема (Йенсен теңсіздігі). Айталық, - теріс емес нақты сандар, және болсын. Сонда кез келген төмен қарайғы дөңес функциясы мен кез келген айнымалылары үшін келесі теңсіздік орындалады:
. Осы теңсіздікті пайдалану мысалдарын қарастырайық.
Мысал 2.12.1. Мынадай - оң нақты сандар, және болсын. Мына теңсіздікті дәлелдеңіздер: .
Шешуі. Теңсіздікті аздап өзгерту арқылы (яғни, оның екі бөлігінен де 4-ті азайтқанда), оған эквивалентті теңсіздікті аламыз:
.
Мынадай (0, 1) аралықта берілген функциясын
қарастырайық. Екінші туындысын табамыз да, оны зерттеу нәтижесінде функцияның төмен қарайғы дөңес функция болатындығына көз жеткізе аламыз, яғни - сандары үшін Йенсен теңсіздігін жаза аламыз.
ал енді болады, ал функциясы (0, 1) аралығында минималды нүктесіне мәнінде жетеді.
Ескере кететіні: бастапқы теңсіздікті ғана тең салмақтар үшін қарастырғанда, функциясының иілу нүктесімен жұмыс істеуге тура келеді. Бұл тәсілмен де есепті шығаруға болады, бірақ бұл жағдайда нүктелерді дөңес функцияның жекелеген интервалдары бойымен жылжытып, бірнеше интервалдар бойынша жеке-жеке қарастырып отыру қажет болады, сонымен қатар олардың әрқайсысында жеке бір айнымалыға тәуелді теңсіздіктерді шешіп отыру қажет болады.
Жоғарыда қарастырылған есепте : 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 сандарына байланысты өрнектерде кейбіреулерін салмақ ретінде қарастыру ыңғайлы болды, ал қалғандарын 𝑓(𝑡) функциясындағы мәні бойынша есептелгендіктен, иілу нүктелері болмайтындай функцияға келтіріліп, бұл функцияға Йенсен теңсіздігі пайдаланылды.
