Математикалық модельдеудің негізгі этаптары

Жүйелерді математикалық модельдеу нақты жүйені таңдаудан басталады. Экологиядағы нақты жүйелер - су қоймасы, орман экожүйесі, қаланың ауа-райы, қалалық экономика және т.б. Модельдеу жүйесін таңдау көптеген себептерге тәуелді - объективті және субъективті. Барлық экологиялық проблемаларды шешуге математикалық модельдеу қажет емес. Көптеген экожүйелердің мәселелерін нақты практикалық әрекеттер негізінде ғана математиканы тартпай шешуге болады,мысалыға өнеркәсіпте, қалалық экономикада және т.б. Сонымен қатар, алдын ала математикалық модельдеусіз шешілмейтін маңызды экологиялық мәселелер өте көп. Үлкен дәрежеде математикалық модельдеу мәселесін қалыптастыру елдің экономикасының даму деңгейіне және қоғамның экологиялық мәселелерге қарым-қатынасына тәуелді.

Математикалық модельдеудің негізгі этаптары

Белгілі бір нағыз жүйені модельдеуді мақсат еткеннен кейін, ең алғашқы кезеңдердің бірі - жүйені зерттеу. Ол модельдеу жүйесі туралы алдын ала ақпараттарды жинауды қамтиды: алдыңғы зерттеулердің нәтижелері (әдеби деректер, тапсырыс берушінің деректері және т.б.), өздерінің эксперименттерін құрастыру. Бірінші кезеңді орындау ауызша модельді құруға әкеліп соғады - зерттелетін жүйенің ауызша моделі (сипаттамалы есеп, сипаттама ғылыми мақала). Ауызша модель жүйенің өте толық бейнесін бере алады. Биологтар, экологтар және химиктер - пәндік мамандардың көптеген зерттеулері жүйенің ауызша үлгісін жасаумен шектеледі. Бірақ кез-келген ауызша модель өте маңызды және пайдалы ақпараты бар бола тұра үлкен шектеулерге ие - бұл жүйенің динамикасын болжауға мүмкіндік бермейді және оның жұмыс істеуін оңтайландыру үшін жүйеде басқару әрекеттерін дұрыс анықтауға мүмкіндік бермейді.

Сондықтан заманауи ғылымдарға, соның ішінде экологияға келесі маңызды қадам - жүйенің математикалық моделін құру болып табылады. Ол математикалық формализациядан басталады. Бұл жүйенің элементтерінің сандық сипаттамаларының (популяция мөлшері, ластаушы заттардың концентрациясы, резервуардағы сұйықтықтың жылдамдығы, өнімнің көлемі және т.б.) математикалық айнымалысы түрінде ұсынылған.

Айнымалы мәндермен қатар экожүйеде әртүрлі экологиялық, биологиялық, химиялық және басқа процестердің қарқындылығын сипаттайтын параметрлер (туудың жылдамдығы, инфекцияның таралу жылдамдығы, химиялық реакцияның жылдамдығы және т.б.) анықталады.

Параметрлер уақытша, кеңістіктік айнымалы және жүйелік айнымалы функциялар сияқты тұрақты мәндер болуы мүмкін. Математикалық формализация мен математикалық модельдеуді жасауды екі қадам ретінде көрсетуге болады: талдау және синтез.

Жүйелік талдау: жүйеде элементтер мен процестер арасындағы байланыстарды бөліп көрсететін кіші жүйелер мен элементтерде зерттелетін жүйенің ыдырауы.

Синтез: жүйелік айнымалылардың сақталу заңдары мен гипотезаларының қосылыстарын білдіретін математикалық теңдеулерді қалыптастыру. Синтездің нәтижесі математикалық модель болып табылады.

Математикалық модель - гипотеза немесе (теңгерімдік қатынастар) (жүйенің элементтерінің жұмыс істеуі туралы жорамалдар) арқылы айнымалы қосылыстарды білдіруге негізделген теңдеу немесе теңдеулер жүйесі.

Экологияда математикалық модельдер теңдеулер комбинациясы арқылы сипатталады, яғни жүйедегі элементтердің өзара әрекеттесуі туралы физикалық заңдарды және әртүрлі процестерге экологиялық айнымалылар динамикасының тәуелділігінің табиғаты туралы математикалық болжамдарды білдіреді. Мысалыға, математикалық модель су қоймасындағы процестердің сұйықтық ортасының қозғалысын, антропогендік ластанудың физикалық және химиялық түрленуін сипаттайтын бастапқы шарттармен конвективтік диффузиялық теңдеулерді сипаттайтын, сондай-ақ резервуардағы биотикалық компоненттер динамикасына теңдеулерді сипаттайтын жүйені қамтиды. Гидродинамикалық теңдеулер - су эквивалентінің көлемінің бірлігіне массаны, импульсті және энергияны сақтау заңдарын білдіретін жартылай дифференциалдық теңдеулер жүйесі болып табылады. Халықтың динамикасының теңдеулері әртүрлі биотикалық компоненттердің өзара әрекеттесуі туралы гипотезаларға негізделген.

Нақты экожүйелердің көптеген математикалық модельдері бірнеше анализ әдістерімен шешілмейтін бірнеше теңдеулер жүйесі (мысалы, дифференциалды) болып табылады. Бұл жағдайда есептеу математика тәсілдерін қолдану қажет. Сол себепті алдымызда математикалық модельдің мақсаттарын айқындау мәселесі тұрады, яғни жүйені сипаттайтын теңдеулер арқылы шешетін компьютерлік бағдарлама ойлап табу.

Бағдарламалау - бұл кез келген бағдарламалау тілін немесе стандартты математикалық пакетті пайдаланатын жүйені сипаттайтын теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдісін енгізу. Есептеу математикасының қазіргі дамуының жоғары деңгейі әртүрлі программалау тілдерінде стандартты бағдарламалар кітапханаларының, сондай-ақ интеграцияланған математикалық пакеттердің (Mathematica, MatLab, Maple, MathCad және т.б.) бар болуымен сипатталады. Сондай-ақ, қазіргі таңда әртүрлі пәндік салалардың есебін жүргізу үшін арнайы бағдарламаларды дайындау жүріп жатыр. Атап айтқанда, бұл сұйықтық және газ механикасы, CFD (Есептеуіш сұйықтық динамикасы - Есептеу сұйықтық динамикасы) деп аталатын пакеттерді (FLUENT, StarCD, CFX және т.б.) шешуге арналған пакеттер. Жоғарыда айтылған заманауи программалық мүмкіндіктерді пайдалану математикалық модельдеу жұмысын, оның ішінде экологиялық мәселелердің шешумін табуды жеңілдетеді.

Математикалық модельді іске асырғаннан кейін - стандартты немесе мамандандырылған пакет ортасында өзіңіздің компьютерлік бағдарламаңызды немесе бағдарламаңызды құрудың басты мәселесі - іске асырылған модельдің сенімділігі болып табылады. Модельдік сынақ деп атауға болатын кезең келеді, яғни - пайда болған математикалық модельдің барабарлығын тексеру кезеңі.

Дамыған модельді растау үлгі бойынша есептеуден кейін алынған нәтижелердің ықтималдығын бағалаудан басталады. Жүйелік айнымалылардың есептік мәндері физикалық және математикалық ықтималдық шарттарына сәйкес келуі керек: халықтың өлшемі оң мән болуы керек, айнымалылардың шекаралары физикалық шектеулерге және т.б. сәйкес болуы керек. Модельдегі қателер, әдеттегідей, керемет нәтижеге әкеледі, оңай жойылады. Бірақ есептелген нәтижелердің сенімділігі, әрине, модельдің сенімділігі туралы айтуға жеткіліксіз. Математикалық модельді тестілеудің негізгі әдісі оны басқа есептеу жұмыстарының нәтижелерімен және тәжірибелік деректермен салыстыру болып табылады. Орындалған математикалық модель, сонымен қатар, проблеманың аналитикалық шешімдерінің мүмкін болатын кейбір ерекше жағдайларда тексерілуі мүмкін. Жалпы ұсыныста алынған шешімді барлық деректермен салыстыру ықыласы болуы мүмкін - оң нәтижелермен кез-келген салыстыру үлгісіне деген сенімді арттырады, сондай-ақ модель мен жүйенің өзін түсінуге әкеліп соғады.

Жиі эксперименттік және басқа есептеу жұмыстарының деректерімен салыстыру нәтижелерінде бастапқыда теріс, сандық немесе сапалық айырмашылықтар байқалады. Мұның себептерін анықтау үшін модельдеудің барлық алдыңғы кезеңдері сыни түрде талдануға тиіс. Құрылған модель елеулі процестерді ескермеуі мүмкін. Модельді алғашқы қалыптастыру кезінде маңызды және маңызды емес процестерді таңдау оңай емес. Мұндай сыни талдау - дәл математикалық модельдеу мақсаттарының бірі. Келесі маңызды тұстардың бірі - модель параметрлерінің растылығы. Модельдік теңдеулер бірқатар ұқсас процестерді (мысалы, химиялық кинетика теңдеулері) сипаттау үшін қолайлы болуы мүмкін. Белгілі бір процестерді сипаттау үшін параметрлердің әртүрлі мәндерін пайдалану математикалық модельді белгілі бір жүйенің толық белгілі моделін құрайды. Модельдік параметрлердің дұрыс мәндерін таңдау шынайы жүйенің моделінің барабарлығында өте маңызды рөл атқарады. Модельдік параметрлердің мәндері әдетте белгілі процестердің ғылыми зерттеулерінің нәтижелері - халықтың өзара әрекеттесуі, химиялық реакциялар, атмосфералық динамика және т.б. белгілі. Және бұл мәндер әртүрлі дәлдікпен анықталады. Бұдан басқа, параметрлердің белгілі бір шекарасына сәйкес келетін жүйелік ауыспалы функциялар (температура, халық тығыздығы және т.б.) болуы мүмкін. Осылайша, бұл параметрлерде модельдеу нәтижелері үшін елеулі қателер болуы мүмкін.

Популяциялардың өзара әрекеттесу сипаты туралы қате болжамдар және түрлі процестерді сипаттайтын теңдеулерді дұрыс жазу эксперименттік деректермен сәйкес келмеуі мүмкін. Модельдік қателердің дереккөзі модельдік теңдеулерді шешу үшін таңдалған сандық алгоритм болуы мүмкін. Теңдеулердің түріне және жүйенің айнымалыларындағы өзгерістердің сипатына қарай әртүрлі сандық әдістерді таңдауға болады: соңғы айырымдық әдістер, соңғы көлемдер немесе элементтердің соңғы элементтері. Барлық сандық әдістер есептік доменді тор бөлуге негізделген. Тиісті торды ыдырау тұрақты сандық шешім алудың қажетті шарты болып табылады. Модельдеудің барлық кезеңдері модельдік қателіктерді енгізе алады және нәтижелердің дұрыстығына жауапты болады. Сондықтан, есептеулер мен эксперименттерде 12 айырмашылық бар болса, оларды модельдеудің осы кезеңдеріне сыни көзқараспен қарау керек және оларды қайтадан талдау қажет. Математикалық модельді дәл баптауға жұмсалатын уақыт көбіне бастапқы модельді жасау уақытынан асып кетуі мүмкін.