Математикалық модельдеу әдісінің негізгі кезеңдері. Сапалы модель құру

Пуассон теңдеуі эллиптикалық типтің дербес туындылы теңдеуі. Декарттық координаиалар жүйесінде Пуассонның бір өлшемді теңдеуі келесі түрде беріледі.[1,2,5]:

Есепті толықтыру үшін міндетті түрде шекаралық шарттар берілуі тиіс, мысалы :

Эллиптикалық типтегі Пуассон теңдеуінің сандық әдіспен алынған шешімі тек қана ақырлы айырымдылық аналогінің құрылыс әдісімен ғана емес,сонымен қатар алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімдер әдісімен де ажыратылады.

Пуассон теңдеуінің соңғы айырымдылық аппроксимациясының құрылымы үшін әдетте үш нүктелік сұлба қолданылады. Ал бұл жағдайда біз беснүктелік сұлбаны қолданып (2.13) теңдеуін жазайық :

. (2.14)

Бұл теңдеудегі аппроксимацияның қателігі .

Алгебралық теңдеудің шыққан жүйесін бес нүктелік қуалау әдісімен щешейік. Алгебралық теңдеудің жүйесін (2.14) жалпы түрге келтірейік:

(2.15)

Алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімдерін (2.15) келесі түрде іздейміз:

мұндағы – анықталмаған коэффиценттер. Берілген коэффициенттерді анықтау үшін (2.16) алгебралық теңдеулер жүйесін келесі түрге келтіреміз.

және (2.15) теңдеуіне қоямыз.

Соңғы теңдеуді келесі түрге келтіреміз:

(2.16) қатынасын пайдаланып соңғы теңдеуден коэффициенттерді анықтаймыз:

Берілген барлық коэффициенттерді анықтау үшін алдымен коэффициенттерін анықтау керек.Ол үшін шекаралық шарттарды қолданамыз.Біздің білуіміз бойынша, егер болса,онда (2.16) теңдеуінен мынандай нәтиже аламыз :

Мұндағы шекаралық шарттан анықталады:

Бұдан келесі нәтижені аламыз:

Алайда коэффициенттерін анықтау үшін тек қана коэффициенттерін білу жеткіліксіз, ол үшін қосымша коэффициенттерін анықтау қажет. Оларды анықтау үшін үшін (2.16) теңдеуін жазамыз:

Сонымен қатар (2.15) теңдеуін мына түрде жазамыз

(2.17) теңдеуін (2.19) теңдеуіне қойып мынандай тұжырымға келеміз:

Соңғы теңдеуді мынандай түрге келтіреміз :

(2.20) теңдеуді (2.18) теңдеуімен салыстырып отырып, анықтауға болады

Әрі қарай барлық коэффициенттерін анықтауға болады. Функция мағынасы екінші шекаралық щарттан анықталады, ол үшін шекаралық шарттарды дискреттік түрге келтіреміз.

Бұдан мынандай шарт аламыз.

(2.16) теңдеуін қолданып шешімін табу үшін міндетті түрде табу керек. Ол үшін (2.16) теңдеуін мынандай түрде жазамыз.

Жоғарыдағыны жалпылай айтатын болсақ, барлық берілген формулаларды қолдану тәртібі бойынша беснүктелік қуалау әдісі бойынша жазамыз:

Мұндағы коэффициенттер келесі түрде анықталады:

Жоғарыдағы нұсқағыштар есептелудің бағытын көрсетеді. – –ден –ге дейін, – –ден –ге дейін, –ден –ге дейін өзгереді. Соңына келетін болсақ коэффициенттерін міндетті түрде табу қажет: