Математикалық модельдеу әдісінің негізгі кезеңдері. Сапалы модель құру

1.Сапалы модель құру.

Жүйеде қолданылатын заңдар мен байланыстардың сипаты анықталады. Модельдің табиғатына байланысты бұл заңдар физикалық, химиялық, биологиялық, экономикалық болуы мүмкін.

Модельдеудің міндеті - құбылыстың немесе процестің негізгі, тән ерекшеліктерін анықтау. Физикалық құбылыстарды зерттеуге қатысты сапалы модель құру-бұл эксперимент негізінде құбылыстың немесе процестің физикалық заңдылықтарын тұжырымдау.

2. Математикалық модель құру (математикалық есеп қою).

Егер математикалық модель кейбір теңдеулермен сипатталса, онда мұндай модель детерминирленген (анықтау, негіздеу) деп аталады. Математикалық физика әдістерінің курсында қарастырылған бастапқы-шеттік есептер детерминирленген дифференциалдық модельдердің мысалдары болып табылады.

Егер модель кейбір ықтималдық заңдармен сипатталса, онда мұндай модель стохастикалық деп аталады.

1. 
   Негізгі факторларды бөлу.
   

2) қосымша жағдайлар бөлу (бастапқы, шекаралық,түйіндес шарттары және т.б.).

3. Математикалық модельді зерттеу.

1) Модельдің математикалық негіздемесі.

Зерттеудің ішкі қайшылықсыз үлгілері.

Дифференциалдық модельдің дұрыстығын негіздеу. Шешімнің бар болуы, бірлік және тұрақтылық теоремасының дәлелдемесі.

2) Модельді сапалы зерттеу. Шеткі және шекті жағдайларда модельдің мінез-құлқын анықтау.

3) Модельді сандық зерттеу.

а) Алгоритмді әзірлеу.

б) Модельді зерттеудің сандық әдістерін әзірлеу

Әзірленетін әдістер жалпы жеткілікті (кең кластағы математикалық модельдерді зерттеу үшін жарамды) және алгоритмдік (есептеулерді автоматтандыруды қамтамасыз ететін) болуы тиіс.

Жаңа талап - параллелдену мүмкіндігі ( кластерлік есептеу жүйелерін пайдалану)

в) Бағдарламаны құру және іске асыру.

Компьютерлік эксперимент.

4. Нәтижелерді алу және оларды түсіндіру.

Алынған деректерді сапалы талдау, табиғи эксперимент нәтижелерімен және басқа сандық алгоритмдердің көмегімен алынған деректермен салыстыру.

Модельді және оны зерттеу әдістерін нақтылау және модификациялау.

5. Алынған нәтижелерді пайдалану.

Жаңа құбылыстар мен заңдылықтарды болжау.

2. Математикалық модельдеудің тура және кері есептері

1. Тура есеп: зерттелетін жүйенің барлық параметрлері белгілі және әр түрлі жағдайларда зерттелетін жүйенің барлық параметрлері қарастырылады.

§3. Математикалық модельдердің әмбебаптығы. Аналогия принципі.

Математикалықмодельдердіңәмбебаптығы-материалдықбірлікпринципінің көрінісі болып табылады.
Математикалық модель тек жеке нақты құбылыстар немесе объектілер ғана емес, кең ауқымды әртүрлі құбылыстар мен объектілерді сипаттайды.
Күрделі тапсырмаларды модельдеудің жемісті тәсілдерінің бірі объектілер зерттелген құбылыстары бар ұқсастықтарды пайдалану болып табылады.
Әртүрлі табиғат объектілеріндегі тербелістер процестері.
1. Тербелмелі электрлік контур.


L
Сым кедергісін нөлге тең деп санаймыз.


C
q (t) - конденсатордың құймаларындағы заряд.

v(t) - конденсатордың қаптамасындағы кернеу.

2. Екі биологиялық популяцияның өзара әрекеттесуі кезіндегі шағын тербелістер.

3. Еңбекақы мен жұмыспен қамтудың өзгеруінің қарапайым үлгісі.

p ( t) - жалақы

N (t) - жұмыспен қамтылған қызметкерлер саны

Еңбек нарығының тепе-теңдігі: ақыға жұмыс істеуге келіседі N₀>0 адам.

Болжайық,

Осыдан

§4. Үлгілердің иерархиясы.

«Қарапайымнан қиынға» принципі: тізбектің құрылысы (иерархия), олардың әрқайсысы жалпылама түрдетолықтырылған модельдер және олардың әрқайсысын соңғысына композиторлық жағдайға енгізеді.

Жанармайдың жануының ең жоғары жылдамдығы (формула

u=3км/с болғанда

2) Көпсатылызымыран.
m_i-iсатыныңжалпысалмағы
-iсатыныңқұрылымдықсалмағы

- iсатылыотынмассасы
-барлықсатыларүшінбірдей.

n = 3:

ал құрылымдық массасын лақтырылғаннан кейінгіқозғалтқыштар қосылған кездегі үшінші саты тең:

Максимумға қол жеткізіледі егер

nсатылар үшін:

№2 дәріс. Математикалық экологияның даму тарихы

Экология - бұл тірі ағзалардың, оның ішінде адам, қоршаған ортаның өзара қатынасын реттейтін пәнаралық дамып келе жатқан білім саласы. 20 ғасырдың ортасына дейін экология - организмдердің қоршаған ортамен байланысын реттейтін биологияның бір пәні ретінде танылды. Ал қазіргі таңда экология - қоршаған ортаның жағдайын бақылайтын практикалық әдістерді құрайтын ғылым саласы, яғни бұл: мониторинг, қоршаған ортаны қорғау, биогеоценоз, табиғи экожүйелерге антропологиялық әсер, эколого-экономикалық және эколого-әлеуметтік аспектілер. Жоғарыда айтылғанның барлығы, экология мәселелерін шешуде қолданатын әрі математикалық модельдер мен әдістерді біріктіретін математикалық экология пәнін де сипаттайды.

Математикалық экологияның іргетасы - популяциялардың динамикасының математикалық теориясы болып табылады. (Популяциялардың динамикасы мақаласын қарау). Бұл яғни, жануарлардың, өсімдіктердің, микроағзалардың және олардың өзара қатынасыны мен динамикасының фундаменталды биологиялық түсініктерін дифференциалды, интегро-дифференциалды және айырмашылық теңдеулері арқылы математикалық құрылымдар түрінде көрсету.

Кез келген экожүйе иерархиялық құрылымға жинақтауға болатын сызықтық емес өзара әрекеттесулердің кіші жүйелерінен тұрады. Компоненттерді немесе ішкі жиындарды одан да үлкен функционалды бірліктерге жинақтаған сайын, жаңа пайда болған бірліктерде оның құрамдас бөліктерінде жоғалып кеткен қасиеттер пайда болады. Экологиялық деңгейдің немесе экологиялық бірліктің мұндай жаңа "эмердженті" қасиеттері жай ғана компоненттердің қосындысының қасиеттері емес екенін ескеру қажет. Мұның салдары кешенді экожүйелердің динамикасын олардың иерархиялық бөлімдерімен кіші жүйелерге бөліп оқу және кейіннен осы шағын жүйелерді оқып үйрену мүмкін еместігіне, өйткені бұл жағдайда зерттелетін жүйенің тұтастығымен анықталған қасиеттердің сөзсіз жоғалуына әкеліп соғады.

Сыртқы факторлардың экологиялық жүйелерге тигізер әсерін өз бетінше бөліп-бөліп қарастыруға болмайды, себебі, аралас әрекетті қолданыстағы факторлардың сомасына сәйкестендіруге болмайды. Сонымен қатар күрделі жүйенің түрлі факторлардың кешенді әсерінің реакциясының сандық сипаттамасы күрделі міндет.

Бұның барлығы күрделі экожүйелерді қарапайым редуцияланған "механизмді" модельдер арқылы сипаттаудың мүмкін еместігіне әкеліп соғады. Бұл үшін жүйенің элементтері, түрлері және өзара қатынастары туралы түсінікті модельдік деңгейдегі бір күрделі жүйеге біріктіретін күрделі имитациялық модельдер қажет немесе экожүйеге қатысты бақылаудың үлкен санынан деректерді біріктіретін "әсер ету-жауап" жеңілдетілген интегралды модельдер түрі қажет.

Имитациялық компьютерлік модельдердің ішіне математикалық объектілер түрі ретіндегі жүйелердің компоненттері, олардың байланысы туралы түсініктер кіреді: формулалар, теңдеулер, матрицалар, логикалық процедуралар, графика, сызба, мәліметтер базасы, экологиялық мониторингтің оперативті ақпараты. Бұндай көп өлшемді модельдер экологиялық немесе эколого-экономикалық жүйе туралы әртүрлі ақпаратты біріктіруге, әр түрлі даму сценарийлерін «ойнап», модельге негізделген оңтайлы басқару стратегияларын әзірлеуге мүмкіндік береді, негізінде бұның барлығын бірегейлігі мен уақыт шектеулеріне байланысты нақты жүйеде істеуге болмайды.

Имитациялық тәсіл сондай-ақ экожүйелерді модельдеу, жауап беру функцияларын пайдалану арқылы жүзеге асыру сияқты жоғары дамыған есептеу техникасын қажет етеді, сол себепті математикалық экология дамыған әрі қолданылған ғылым ретінде 20 ғасырдың соңғы он жылдығында кең тарала бастады. Математикалық аппараттың кең таралуы - теоретикалық экологияның дамуына ықпал етті. Математикалық модельді құру экожүйелер туралы бар ақпаратты классификациялау мен жіктеуді талап етеді, деректерді жинау жүйесінің жоспарын құруға міндеттейді, физикалық, химиялық, биологиялық деректер мен экожүйедегі бөлек жүретін процесстерді ақпараттық жүйеде біріктіруге мүмкіндік береді.

Экологиялық жүйелерді модельдеудегі жалпы жүйелік тәсіл

Экожүйелердің моделін құратын кезде жалпыжүйелік сараптама жасау тәсілін қолданады. Ең алдымен бұл - жүйеден тірі және инертті компоненттер секілді жеке дара құрылымдық элементтерді шығару, тірі компоненттер ішіндегі - трофикалық деңгей, түрлер, жас бойынша топтар немесе жыныс бойынша топтар, олардың өзара байланысы бүкіл жүйенің мінез-құлқын анықтайды.

Тағы да бір маңызды элемент - әр элемент қатысатын процесстердің түрін анықтау (көбею мен өсу процессі, жыртқыштық түрінің байланысы, бәсекелестік).

Экологиялық модельдеу кезінде көбінесе теңдестіргіш компартаментальды модельдер қолданылады. Бұл жағдайда компартамент моделін құрайтын энергия мен заттардың ағымы қолданылады, "заттардың" әр қайсысында болуы түптің түбінде жеке ауыспалы жүйені құрайды.

Экологиялық өзара байланысты сипаттау қажеттілігі жүйелік зерттеулердің дамуына ықпал етті. Жалпы жүйе теорисының негізін қалаушылардың бірі Людвиг фон Берталанфи өз сөзінде мынадай ой айтқан: "Вольттер, Лотки, Гаузе және тағы басқаларының популяцияның теориясына қатысты еңбектері жалпы теория жүйесінің классикалық еңбегіне жатады. Бұл еңбекте ең алғаш рет эмпирикалық тексерістен өтуі мүмкін өмір сүру үшін күрес секілді концептуалды модельді дамыту мүмкіншілігі көрсетілген болатын.

Изоморфизм принципі де кең ауқымда қолданылады. Ол табиғаты бойынша бөлек, бірақ құрылымы мен элементтер арасындағы байланыс бойынша бірдей ұқсас математикалық есептер арқылы жүйелерді сипаттауға мүмкіндік береді.

Имитациялық модельмен жұмыс жасау моделдің параметрлерінің өлшемін білуді қажет етеді, яғни зерттеу мен эксперимент арқылы ғана бағалана алады. Көп жағдайда өзара байланыс орнатып, факторларды зерттеу үшін жаңа зерттеу методикасы мен эксперименттер ойлап табуға тура келеді, сол арқылы модельдің негізіне алынған гипотезалардың осал тұстарын анықтауға болады. Модельдеудің барлық процесссі - құрылыс модельдерінен оның көмегімен болжанған құбылыстарды тексеру және алынған нәтижелерді тәжірибеге енгізуге дейін - мұқият өңделген зерттеу стратегиясымен және деректер зерттеуіндегі қатаң тексеріспен байланысты болуы қажет.

Жалпы алғанда математикалық модельдеу үшін жарамды бұл ұстаным экология сияқты күрделі ғылым үшін өте маңызды, ол көптеген ағзалар мен олардың ортасы арасындағы түрлі өзара әрекеттесуді қарастырады. Бұл өзара әрекеттесулердің барлығы уақытқа тәуелді және үнемі өзгеру мағынасында қолданылғандықтан динамикалық және әдетте оң және теріс түсініктемелерді қамтиды, яғни олар сызықтық емес болып табылады. Экожүйелердің күрделілігі тірі организмдердің өздерінің өзгеріске ұшырауынан күшейтіледі, бұл организмдердің өзара қарым-қатынастарында (мысалы, бәсекелестік немесе құбылыс процесінде), сондай-ақ организмнің қоршаған ортаның өзгеру реакциясында көрініс табуы мүмкін. Бұл реакция өсу мен өсіру жылдамдығын өзгерткенде және әртүрлі жағдайда өмір сүрудің әр түрлі қабілетінде көрінуі мүмкін. Бұған климат және мекендеу ортасы сияқты экологиялық факторлардағы тәуелсіз өзгерістер енеді. Сол себепті, экологиялық процесстерді зерттеу мен реттеу маңызды міндеттемелердің біріне айналып отыр.

Экологиялық процестерді эксперименттік және толық көлемде бақылау олардың ұзақтығымен қиындатылып жатыр. Мысалы, ауыл шаруашылығы және бау-бақша шаруашылығы саласындағы зерттеулер негізінен кірістілікті айқындаумен байланысты және егін жылына бір рет жиналады, сол себепті эксперименттің бір циклы бір жыл немесе одан да көп уақыт алады. Тыңайтқыштың оңтайлы мөлшерін табу үшін және басқа рекультивация шараларын жасау үшін бірнеше жыл қажет болуы мүмкін, әсіресе эксперименталды нәтижелер мен ауа-райы арасындағы өзара әрекеттерді қарастырған кезде.

Бұл аквамәдениетте болып жатқан процестерге де қатысты, мысалы, балық тоғандарының оңтайлы қызмет көрсету режимдерін әзірлеуде. Орман шаруашылығында ағаш жинау циклінің ұзақтығына байланысты, ең қысқа эксперимент 25 жылға созылады, ал ұзақ мерзімді эксперименттер 40-тан 120 жылға дейін созылуы мүмкін. Ұқсас уақыт ауқымы басқа табиғи ресурстарды зерттеу үшін қажет. Сондықтан математикалық модельдеу экология, табиғатты пайдалану және табиғи ресурстарды басқаруда қажетті құрал болып табылады.