–дәріс. Жоғарғы рет сұлбасының құрылу мысалы. Компакт сұлба

Жоғарғы рет сұлбасының аппроксимациясының дәлдігі, беттерін тегіс және байсалды ауысу шешімдеріне жетуі сұлбалардың жасалуына себепкер болады, олардың қатары екіден көп болуы тиіс. Мұндай сұлбалардың кейбір құрылу әдістерін келесі түрде топтауға болады: көпнүктелі үлгілерді қолдану; дифференциалдық салдардың бастапқы теңдеулерін қолдану; шағын аппроксимацияларды қолдану.

Мұнымен қатар кең мағынада айырымдылық шешімдердің айқын жоғарылау процесін түсіне отырып, тиімді әдісті, әртүрлі тордан алынған қолданыстағы тордың атқаратын қызметінің әрекеттерін атап өту керек. Сонымен қатар әрекеттер шешімінен құралған кейбір бірлікпараметрлік отбасынан шыққан, базистік сұлбалар көмегімен алынған әдісті атап өтуге болады.

Көпнүктелі үлгіленген сұлбалар. Жоғарғы қатардағы аппроксимацияның түзусызықты жолы сандық дифференциалдаудың көпнүктелі формуласын қолданудан тұрады. Бірақ жалпы жағдайда ол тиімді болып табылмайды, себебі айқын емес сұлбаларда айырымдылық теңдеулерін шешуде мәселелер туады, ал айқын сұлба кезінде тұрақтылық мәселелері пайда болады. Бұған айырымдылық теңдеуінің көпнүктелі үлгілер мен бірорынды емес сұлбаның апаттық көрсетілуінен пайда болатын паразиттық шешімдерінің көбеюін қосуға болады.

Сонымен қатар көпнүктелі үлгілердің тиімді қолдануы гиперболалық типті теңдеулері мен Эйлердің тұтқыр газ теңдеулері үшін үшінші немесе төртінші жоғарғы қатардағы сұлбаларды шығаруға мүмкіндік береді. Олардың барлығы Рунге-Кутта әдісі идеяларында негізделген көппараметрлі сұлбалар отбасына біріктірілуі мүмкін. Төртнүктелі шаблонда максимал қатар сұлбасы мен сызықты уақиғада кездесетін үшінші қатардағы сұлбаны атап өтуге болады.

Берілген көпнүктелі үлгілерге сұлбалардың құрылуының жалпы әдісі, белгісіз коэффициенттерге көбейтілген, осы үлгіні негізделіп отырған функциясының мағынасының жазылуы қосылғыш түрінде болып, әрі қарай аппроксимация қателігінің нөлдік шарты бойынша керекті қатарын анықтау керек. Мұндай әдістің артықшылығын бір немесе бірнеше коэффициенттерді сұлбалардың қасиеттерімен меңгере алатын бос параметрлер ретінде қалдыруға болатындығынан көреміз.

Көпнүктелік үлгілерде шектес түйіндердің қалыпсыз сұлбалары талап етіледі, ол кейбір жағдайларда қосымша мәселелер тудыра алады. Көпнүктелі шаблонды қолдану, кері байланыспен сызықты емес сұлба құру жағдайында өте тиімді бола алады.

Дифференциалды салаларының бастапқы теңдеулерін қолдану. Жоғарғы қатардағы сұлбаларды құрудағы маңызды кезеңі, айырымдылық шешімнің жинақтылығы тұрақты алгоритм үшін аппроксимацияның нақты шешімімен қамтамасыз етіледі және кез келген функцияда аппроксимацияны талап етпейді.

Аппроксимация жасалатын дифференциалды теңдеудің орындалуына байланысты, бұл жағдайды төменгі реттік аппроксимацияның қадамын нөлге теңестіру үшін қолдануға болады. Кеңістіктің бағытындағы қос қабатты үшнүктеліні мысал ретінде алуға болады, жылуөткізгіш теңдеуі үшін арнайы таңдалған сұлба; ол уақыт бойынша екінші нақты қатарға, ал кеңістік бойынша төртінші қатарға ие болады.

Бастапқы дифференциалды қолдануының өзгешелігі, барлық мүшелерінің тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдау жолымен алынған айырымды аппроксимацияланған теңдеуін қарастыруда.

Компакт сұлбалар. Жоғарғы ретті сұлбалардың құрылысының балама жолы шағын аппроксимацияны қолданудан тұрады. Бұл аппроксимацияларда осін бойлай шағын торлы үлгілер пайдаланылады. осін бойлай сондай шағын үлгілерді тарту есебінде, бойынша ()-ші қабатта туындысының аппроксимациясының қосымша белгісіз коэффициенттері пайда болады. Бұл қосымша коэффициенттерді басқара отырып, сұлбаның аппроксимациясының қатарын жоғарылатуға болады. Мысалы, үлгіде аппроксимациясында осі бойынша үш нүктелі -ші және ()-ші уақытша қабаттарда сұлбаны құру мүмкін. Қорыта келгенде, осін бойлаған үлгі шағын немесе “ықшам” болып келеді. Осыдан “ықшам айырымды сұлба” термині пайда болды.

Мысал ретінде қадамды, туындысының шағын айырымды аппроксимациясын жүзеге асырайық:

(2.29) шағын аппроксимацияның қатынасы мына түрде жазылуы мүмкін [2,3,5]:

(2.30) теңдеуінде қатынас орындалу үшін белгісіз коэффициенттер таңдайық:

Ол үшін (2.30) теңдеуіне нүктесіндегі және функцияларын Тейлор қатарына қоямыз:

Мұнда, қысқалық үшін мына белгіні қолданады:

және т.б.

функциясына қатысты (2.33) қатынасы орындалу үшін сонымен қатар (2.31) шарты орындалатындай коэффициенттері мына жүйені қанағаттандыруы керек:

Берілген жүйені шеше отырып, мынадай шешімге келеміз:

(2.33)-ті ескере отырып, табылған мәндерді (2.34)-тен (2.30)-ке отырып, мынадай шешімге келеміз:

(2.33)-тен шыға отырып, (2.31) орындалатыны анық. формуласы бойынша айырма операторын енгіземіз:

Онда (2.35) мына түрде жазуға болады:

(2.37) – ден туындының нақты үшінші қатардағы келесі шағын аппроксимациясын аламыз:

Одан кейін (2.38) негізінде аппроксимация қадамы тең ең қарапайым қос қабатты шағын айырым сұлбасын тұрғызайық

eгер :

(2.39) екі жағына да операторын қолданамыз. Нәтижесінде шағын айырым сұлба отбасының ақырғы түріне келеміз:

(2.36) ескере отырып, (2.40) айқын емес сұлба екенін көреміз. айырым шешімі үш нүктелі қуалау әдісі арқылы тиімді шешіледі.