–дәріс. Параболалық типті екі өлшемді теңдеу үшін бөлшекті қадам әдісі

Жылуөткізгіштік теңдеуі параболалық типтегі дербес туындылы теңдеуі болып табылады. Декарттық координаталар жүйесінде екі өлшемді жылуөткізгіштік теңдеуі мынадай түрге ие болдаы:

Есепті толықтыру үшін бастапқы және шекаралық шарттарын таңдаймыз (бір өлшемді жағдайдан айырмашылығы туынды реті мен мөлшері анықталған төрт шекаралық шарт берілуі тиіс), мысалы,

Шартты тұрақты алгоритмді екі өлшемді жылуөткізгіштік теңдеуі үшін жай әдісті қолданғанда, таңдалған параметрлерге қатысты көптеген мәселелер туындайды, олар шекаралық тұрақтылықтың орындалуы үшін қажет. Бұл Дуглас түзетулерінің айқын емес сұлбаларын жасауға келтірілді ( бөлшекті қадам әдістері). Тұрақтанған түзулер сұлбасын қолдана отырып, қос қадамды айырымдылық сұлбасын аламыз [3, 4]:

1-ші қадам:

2-ші қадам:

Мұндағы операторлар мынадай түрге ие:

Берілген опертарларды ескере отырып, бірінші қадамды сипаттаймыз:

Екінші қадамды мына түрде жазуға болады

«Ыдырау» нәтижесінде үш диогоналді матрицаның сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің шешіміне келеді. Бірінші қадамда мұдай жүйесінің шешіміне келеді. Бірінші қадамда мұндай жүйе әр жол үшін есептеледі (берілген нүктелернің қатары), ал екінші қадамда әр баған үшін есептеледі (берілген нүктелернің қатары). Жылуөткізгіштік теңдеуінің сұлбалы қаратлатын процедурасының шешемі 3.1 суретте көрселілген. Тұрақталған түщулердің айқын емес әдісі аппроксимация қадамның екінші қатар дәлдігіне ие.

3.1.-сурет. Айнымалылар бағытының айқын емес әдісі бойынша сұлбаны есептеу. Тіл бойынша сұлбаның айқын емес бағыты көрселілген.

Алгебралық теңдеулер жүйесін бірінші қадам арқылы алуды қуалау әдісімен шешеміз. (3.2) алгебралық теңдеу жүйесін келесі түрге келтіреміз:

Мұндағы

Екінші қадам үшін төменде берілген мәндерді аламыз:

Бөлшекті қадам әдісі абсолютті тұрақты сұлба болып келеді.