Эллиптикалық типтегі теңдеулер үшін матрицалық қуалау әдісі

Пуассон теңдеуі эллиптикалық типтегі дербес туындылы болып табылады. Декарттық координаталар жүйесінде екі өлшемді Пуассон теңдеуі мынадай түрге ие:

Мысалдарда сияқты жиі кездесетін кейбір маңызды есептер, дербес туындылы эллиптикалық теңдеулердің шешімдеріне апарады. Олараға дыбыстық иірімсіз (потенциалды) газдың ағымы және қатты дененің температураның стационар жазықтығы жатады. Сығылмайтын сұйық үшін Навье-Стокс теңдеуі –эллиптикалық типтегі теңдеулер жүйесінің күрделірек мысалы болып келеді. Навье-Стокстың стационарлы теңдеуі эллиптикалық болып келеді, бірақ олардың эллиптикалылығы өте күрделі байқалады, себебі эллиптикалық мінезі жылдамдықтың да қысымның да туындыларымен анықталады. Навье-Стокстің стационар емес теңдеулердің сандық шешімінде олардың теңдеулер аралас теңдеулер жүйесіне түрлендірілуі және олардыңтеңдеулер жүйесінің ең болмағанда біреуі параболалық, ал екіншісі эллиптикалық Пуассон теңдеуі болғанымен расталады.

Лаплас теңдеуерін шешу әдістері мен эллиптикалық теңдеулердің көбісі ақырғы айырым аналогінің құрылу әдісімен ғана емес (бөл әдістер де өзгеше), сонымен қатар алгебралық теңдеулер жүйесін алаын әдістерімен де ажыратылады.

Беснүктелі сұлба. Лаплас теңдеуерінің екі өлшемді ақырлы айырымдылық аналогін құру үшін көбінесе 1908 жылы Рунге ұсынған беснүктелік сұлба қолданылады.

Есепті толықтыру үшін шекаралық шарттар берілуі тиіс.

1 – шекаралық шарт:

2 – шекаралық шарт:

3 – шекаралық шарт:

4 – шекаралық шарт:

(3.8) айырымдылық аппросимациясын беснүктелі түрде жақуға болады:

Шекаралық шарттар бірінші қатармен аппроксимацияланып, төмендегі түрге келеді:

1 – шекаралық шарт:

Мұндағы

2 – шекаралық шарт:

Мұндағы

3 – шекаралық шарт:

Мұндағы

4 – шекаралық шарт:

Мұндағы

мұндағы .

(3.9)-ды матрицалық түрде қоямыз:

2 және 4-шекаралық шарттарды ескере отырып, алатынымыз:

Берілген шарттарды (3.9) –ға қойып, келесі жүйеге келеміз:

Матрица түрінде жазайық:

мұндағы , ал – -өлшемді бірлік шаршы матрица.

(3.11)-ге 1 және 3 шекаралық шарттарды қосайық:

Келесі түрдегі жүйені аламыз:

мұндағы

Матрицалық қуалаудың алгоритмі

Шешімін мына түрде іздейміз

және 4 –шекаралық шешімдер (3.10) теңдеуінен анықталады.