Математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі

Бізге АВСД ромб берілсін және АС мен ВД оның диагоналдары болсын. Олар О нүктесінде қиылыссын. Осы есепті дәлелдеу анализін көрсетейік.

а) АС ВД екенін дәлелдеу үшін, ВО АС екенін көрсету;

ә) ВО кесіндісі АВС үшбұрышының биіктігі екенін көрсету жеткілікті;

б) ВО кесіндісі rАВС - ның биіктігі екенін дәлелдеу үшін rАВС – тең бүйірлі және ВО оның медианасы. Онда теореманың шартынан: 1) АВ=ВС; 2) ВО кесіндісі rАВС үшбұрышының медианасы.

Бұл теорема синтез арқылы анализбен дәлелденді. Бұл формада негізгі роль атқарған бұрынғы белгілі фактілерге негізделген қатаң түрде алынған логикалық ой жүйе. Қарастырылған мысалда анализ дәлелденетін қатынастарды көрсетуге жеткілікті шарттарды білдіретін фактілерді тағайындауға көмектесетінін байқауға болады.

Оқыту процесінде анализ бен синтез қатар қолданылады. Мәселен, анализ жасап, яғни есептің шартынан немесе қорытындысынан бастап талдап, өзімізге белгілі мәліметтерді ескеру қажет. Себебі, шарттың мәліметтері кезекті мәселелердің жауаптарына жөн сілтеп отырады және керісінше, синтетикалық жолмен жүре отырып, яғни есептің мәліметтерін жан-жақты қолданып, жауап іздеп отырған мәселелерді таңдап алуға болады.

Сондықтан анализ бен синтезді біріктіру, әсіресе теоремалармен және дәлелдеуге берілген есептермен жұмыс істегенде ерекше танымдық маңызға ие болады.

Мысал ретінде дәлелдеуге берілген есеп қарастырайық.

4. Есеп: “Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы екінші бір үшбұрыштың екі қабырғасына тең болса, онда олардың арасында жататын үлкен бұрыштың қарсысында ұзын қабырға жатады”.

Есептің дәлелдеуін оның шартын талдаудан бастаймыз. r үшбұрышын rАВС үшбұрышымен беттестіреміз де, анализ жасаймыз.

Анализ:

1. ВС > екенін дәлелдеу керек. Қандай жағдайда бір кесінді екінші кесіндіден ұзын болады?

2. Кесінділерді салыстыру үшін қабырғалары салыстырмалы кесінділер болатын r қарастыру ыңғайлы.

3. Қандай жағдайда үшбұрыштың бір қабырғасы екінші қабырғасынан ұзын болады?

4. ВС қабырғасы бұрышының, қабырғасы бұрышының қарсысында жатыр. Демек, < екенін дәлелдеу қажет.

5. r – тең бүйірлі, өйткені Сондықтан: = = 1; = 1+ ; = - .

Соңғы теңсіздіктің оң жақтарын салыстырайық:

1+ > 1- немесе > _. Келтірілген дәлелдеуден кейін оқушы қиналмай кері ретпен өздігінен талдау жүргізе алады, яғни синтетикалық жолды саналы түрде жүзеге асырады. Мұның өзі математиканың дедуктивтік құрылымын жете түсінуге қолайлы жағдай жасайды.

Синтетикалық әдісті қолдануға тағы бір мысал келтірейік.

Ш е ш у і. 1) Велосипедшінің жылдамдығы қандай?

2) Мотоциклшінің жылдамдығы қандай?

16 : = 16 ∙3 =48 (км/сағ).

3) Мотоциклші мен велосипедші бір сағаттың ішінде қанша қашықтыққа жақындасады?

16 + 48 = 64 (км).

4) Мотоциклші мен велосипедші қанша уақыттан кейін кездеседі?

96 : 64 =3 : 2= 1,5 (сағ).

Ж а у а б ы. 1,5 сағат.