§ 4. ЖАЛПЫЛАУ, АБСТРАКЦИЯЛАУ ЖӘНЕ НАҚТЫЛАУ

Объектіге қойылатын шарттарды кеңейту арқылы немесе олардан бас тарту арқылы жалпылау жасауға болады.

Мәселен, геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын оқығанда алдымен оқушылар геометриалық прогрессияның мүшелерін берілген бірінші мүшесі мен өсімшесі арқылы есептейді. Бұл есептеулерді жүргізгенде оқушылар төмендегідей теңдіктерді қолданады:

және т.б.

Бұдан жалпылау жасап мына формуланы алады:

Жалпылау арқылы берілген жиындардан көлемді жиындарға көшеді. Мәселен, натурал сандардың жиынынан оң бөлшек сандардың жиынына көшу жалпылау арқылы орындалады.

Егер бөлшек сандардың бөлімі 1 болатын болса, натурал сандар шығады. Сонда натурал сандар бөлімі 1 болатын бөлшек сандар.

Жалпылауға келтірілетін тәсілдер:

а) тұрақты объектіні айнымалы объектімен алмастыру;

б) объектіге қойылған шектеуден бас тарту.

Абстракциялауды қарапайым түрде былай түсінуге болады: инженер-жобалаушы үйге құбыр жүргізуді жобалағанда алдымен оның басқа қасиеттерін елемей, ұзындығын өлшейді, яғни құбырдың геометриялық сызықтар түріндегі абстракциялық пішінін жасайды. Содан соң құбырдың тиімділігін арттыру мақсатында, оны қандай мөлшерде кесіп жалғау керектігін зерттейді. Мұнда тағы да геометриялық дене түріндегі құбырдың абстрактілі моделі жасалады. Ақырында, сыртқы табиғи әсерден сақтау үшін, құбырды бояу немесе қаптау керек. Мұнда тағы да құбырдың абстрактілік моделін – геометриялық бет ұғымын қарастыруға мәжбүр болады.

Жобалаушының қызметіне ден қойсақ, ол нақты объекті - құбырдың пішініне, мөлшеріне, сапасына, ұзындығына, салмағына, түр-түсіне назар аудармай, оны тек геометриялық объекті түрінде ғана қарастырып отыр.

Абстракциялау таным процесінде екі түрде көрінеді.

Абстракциялаудың бірінші түрінде затты сезімдік қабылдауда оның бірсыпыра қасиеттерін мардымсыздандырып, басқа негізгі қасиеттерін іріктейді. Мәселен, қайсыбір затты геометриялық дене ретінде қарастыра отырып, оның тек пішініне, мөлшеріне, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі орнына ғана назар аударады.

Абстракциялаудың екінші түрі сезімдік танумен шектелмейді. Мұнда заттар мен құбылыстардың қасиеттерін іріктеп қана қоймай, оларды түрлендіреді. Мысалы, үшбұрыштарды бұрыштары бойынша сараптай отырып, оқушылар абстракциялау арқылы, оның қабырғаларының әр түрлілігін елемей, тек үшбұрыш ұғымына ғана амалдар қолданады.

Сонымен, абстракциялаудың өзі зерттелетін заттар мен құбылыстардың елеусіз қасиеттерін ойдан шығарып, зерттеуге қажетті қасиеттерін ғана іріктеп алу тәсілі екен.

Мәселен, теңдігін қарастырайық. Осы теңдік арқылы абстракциялаудың табиғатын көрсетуге болады. Расында, теңдігінің нақты мазмұны қандай? Бұл теңдік үш дәптердің құнын, жолаушының екі сағатта жүрген жолын немесе тік төртбұрышты егістіктің ауданын көрсетеді. Мұндағы ең маңызды нәрсе – абстракциялау арқылы құбылыстың моделін жасап, оны түсіндіру.

Сонымен, абстракциялау математиканы тануда үлкен роль атқарады. Бірқалыпты үдемелі қозғалыстың жылдамдығы: (1)

Товардың өзіндік құнының формуласы:

(2)

Металды қыздырғанда оның ұзындығының өзгеру формуласы: (3) (1), (2), (3) формулаларды абстракциялап, жоғарғы үш функцияның жалпы түрі f(x)=ax+b функциясын аламыз.

Нақтылау объектілер мен құбылыстарды абстракциялау тәсіліне қарама-қарсы тәсіл.

Нақтылау деп объектіні біржақты ғана ойлау әрекетін айтады. Белгілі бір ұғымды нақты көрнекілік арқылы енгізгенде, абстрактілі жағдайды нақты келістіруде, объектінің нақты жағдайда қасиетін анықтауда нақтылау әдісі қолданылады.