Өзін-өзі тексеру сұрақтары

1. Теоремаларды дәлелдегеудің қандай әдістері бар?

2. Теореманы логикалық жолмен дәлелдеуге мысал келтіріңдер.

3. Теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісін мысал арқылы түсіндіріңдер.

4. Теореманы беттестіру тәсілімен дәлелдеуге мысал келтіріңдер.

§ 4. МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДАҒЫ ИНДУКЦИЯ МЕН ДЕДУКЦИЯ

Индукция мен дедукция негізгі ой-тұжырымдардың біріне жатады. Индуктивтік ой-тұжырымы ежелгі грек философы Сократтың (б.э.д. 469-399 ж.ж) еңбектерінде алғаш рет келтірілген.

Белгілі бір құбылысты не объектілер жиынтығын зерттеу мақсатымен жеке-жеке құбылыстардың (объектілердің) қасиеттерін зерттеу арқылы, қарастырылып отырған құбылыстың (объектінің) ортақ жалпы қасиетін анықтау жолын индукция деп түсінеміз.

Оқыту үрдісінде дербес ой қорытындыларынан ортақ ой қорытындысына көшу жолын индукция деп атаймыз.

1 - м ы с а л.

I. Жеке пікірлер:

Шеңбер мен түзу тек екі нүктеде ғана қиылысады; эллипс пен түзу тек екі нүктеде ғана қиылысады; гипербола мен түзу тек екі нүктеде ғана қиылысады; парабола мен түзу тек екі нүктеде ғана қиылысады.

II. Дербес пікір:

Шеңбер, эллипс, гипербола және парабола – конустық қималар.

III. Жаңа жалпы пікір:

Барлық конустық қималар контур бойынша түзумен екі нүктеде ғана қиылысады.

2 - м ы с а л.

формуласымен берілген тізбекті қарастыралық.

………………………………………………………………

Бұл жалған пікір, себебі n=41 болғанда, - құрама сан [28, с.94].

3 - м ы с а л.

Оқушыларды үшбұрыштың биіктігі жайындағы ұғыммен таныстыра отырып, мұғалім тақтаға әр түрлі үшбұрыштарды сызып, олардың әрқайсысының биіктіктерін жүргізеді. Оқушылар бұл сызбаларға қарап, егер үшбұрыштың табанына іргелес жатқан бұрыш сүйір болса, онда биіктік табанмен қиылысады, ал ол бұрыш доғал болса, онда биіктік табанның созындысымен қиылысады деген қорытындыға келеді.

Бұл мысалдардың алғашқысы индукцияны ой қорытудың айрықша формасы ретінде, ал екіншісі ғылыми зерттеу әдісі ретінде, үшінші мысал оқыту әдісі ретінде көрсетеді.

Индуктивті ой қорыту толық және толымсыз индукция болып екі түрге бөлінеді.

Толық индукция деп ақиқаттығы тағайындалған пікірге қатысты барлық жеке және дербес жағдайларға негізделген ой қорытуды айтады. Егер мұндай жағдайлардың ұзын саны шектеулі болса, онда олардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырып, қорытындының негізі бар деп санауға болады.

Мәселен, екінші ондықтағы жай сандардың ұзын санын анықтау үшін, ондағы барлық сандарды қарастыруға болады: ;

Екінші ондықта небәрі 4 жай сан бар екені қосымша негіздеуді қажет етпейді.

Сөйтіп, толық индукцияда негізделген қорытынды дұрыс деуге әбден болады, сондықтан ол ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Алайда дербес жағдайларды қарастыру қолайсыз болғандықтан, толық индукция сирек қолданылады.

Толымсыз индукция деп қарастырылатын ұғымға (немесе ұғымдар жүйесіне) қатысты бір немесе бірнеше (бәрі емес) жеке пікірге негізделген ой қорытуды айтады.

Толымсыз индукция мектеп практикасында кеңінен қолданылады. Себебі, ол алдымен оқушылардың іс-тәжірибесіне ұқсас, өйткені олар жеке бақылауларын жалпылау арқылы өз білімдерін бірсыпыра толықтырады. Толымсыз индукция “барлаушы” тәсіл ретінде қолданылады. Расында ғылымда да, оқыту процесінде де көптеген фактілер мен заңдылықтар алдымен жеке мысалдарда бақыланады.

Толымсыз индукцияға негізделген кейбір қорытындылар қате болуы мүмкін, сондықтан оны зерттеу әдісі ретінде өте сақ қолданған жөн.

Алайда толымсыз индукцияны кейбір жағдайларда қателікке ұрындырады деп, одан бас тартуға болмайды. Өйткені бірсыпыра математикалық ұғымдар мен пайымдаулар тәжірибе мен бақылау, қабылдау мен елестету арқылы қалыптасады. Сонымен бірге, оқытудың индуктивтік әдісін пайдалана отырып, оқушыларды ізденуге үйретеміз, жаңа ұғымдар, теоремалар мен формулаларға олардың өздерін келтіреміз. Мұнда, әдетте “мықты” индукция (бірнеше дербес жағдайларды қарастырудан қорытынды жасайтын индукция) қолданған орынды. Мысалы, осындай тәсілмен мектепте прогрессияларды оқып үйренеді.

1) егер, натурал n саны үшін тұжырымдалатын ұйғарым үшін дұрыс болса, 2) кез келген мәні үшін осы ұйғарым дұрыс деп жорығанда,

3) ол мәні үшін де дұрыс болып шықса, онда ол ұйғарым кез келген натурал n саны үшін де дұрыс болады.

Математикалық индукция әдісімен теореманы немесе формуланы дәлелдеу үш қадамнан тұрады.

1-қадам. болғанда теорема дұрыс екеніне көз жеткіземіз.

2-қадам. болғанда теорема дұрыс деп ұйғарамыз.

3-қадам. Бірінші қадам бойынша формула дұрыс, екінші қадам бойынша кез келген n натурал саны үшін формула дұрыс екенін дәлелдейміз.

Дедуктивтік әдіс деп неғұрлым жалпы талдаудан жекеге, жалпы қағидадан дербес қорытындыға көшу тәсілін түсінеді. Математикалық дәлелдеулерде негізінен дедуктивтік әдіс жиі қолданылады. Ал дедуктивтік дәлелдеулер дедуктивтік силлогизмдер тізбегінен құрылады.

4 - м ы с а л. Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы басқа бір үшбұрыштың үш қабырғасына тең болса, онда үшбұрыштар өзара тең болады.

r жәнеr үшбұрыштарынан: ; және .

Демек rАВС = r (қорытынды. Бұл дедуктивтік қорытындының мысалы.

5 - м ы с а л.

1) Ортақ пікір: « Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас.»

2) Дербес пікір: «Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас»

3) Жаңа пікір: «Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас»

Әдетте қорытынды жасау үшін, әрбір пікірде ортақ термин болуы қажет.

Бірінші мысалда ортақ термин “ ЕКОБ”, ал екіншісінде – “дұрыс көпбұрыштар” деген сөз тіркестері.

Дедуктивті ой қорытудың дұрыстығы берілген пікірлердің дұрыстығына байланысты. Егер екі пікір де дұрыс болса, онда қорыту ережесі дұрыс қолданылған және қорытындының дұрыстығы даусыз.

Дедуктивтік ой қорытудың, мынадай түрлері бар:

1. Жалпы ортақ талдаудан (ой-тұжырымынан) жаңа жеке пікірге (ой-тұжырымына) келу ой қорытындылары.

6 - м ы с а л:

1) Ортақ талдау: «ЕКОБ (а,в) =1 болса, а мен в өзара жай сандар»

2) Дербес талдау: «ЕКОБ (5,19) =1»

3) Жаңа дербес пікір: «5 пен 19 - өзара жай сандар»

2. Жалпы талдаудан жалпы қорытындыға келу ой қорытындысы.

7 - м ы с а л:

1) Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді;

2) Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді;

3) Бір де бір жұп сан тақ сан бола алмайды.

3. Жеке қағидадан дербес қағидаға апаратын ой қорытындылары.

8 - м ы с а л:

1) 5-жай сан;

2) 5-натурал сан;

3) Кейбір натурал сандар жай сан болады.

Математика – дедуктивті ғылым. Сондықтан математикадағы әрбір ұйғарымды дәлелдеу бұрын дәлелденген теоремаларға немесе аксиомаларға жүгіндіріледі. Ой қорытудың дедуктивтік түріне жасалатын әрбір қадам дәлелді болуы тиіс және олар логикалық ретпен баяндалады.

Зерттеу әдісі ретінде дедукция қайсыбір объект (ұғым, қасиет) жайындағы жаңа білімді игеру үшін берілген объектіге ең жақын объектілер класын (ең жақын тектік ұғымды) тауып, сол объектіге (ұғымға) берілген объектілер класының (тектік белгілерін) айрықша қасиеттерін қолданады.

Мәселен, квадраттың қасиеттерін оқып үйрене отырып, біз алдымен квадраттың ромб екенін тағайындай аламыз. Демек, ромбыға тән барлық қасиеттер квадратқа да тән (атап айтқанда, квадраттың диагональдары да өзара перпендикуляр).

Математиканың даму үрдісінде индукция мен дедукция тығыз байланыста болады және бірін-бірі толықтырады. Мысалы, егер жеке мысалдарда (5+7=7+5=12) оқушылар натурал сандар қосудың ауыстырымдылық заңына бағынатынына, яғни a+b=b+a қасиетінің дұрыстығына көздерін жеткізсе, олар индукцияны пайдаланады. Осы заңды 5+27=27+5 қосындысын есептеуге пайдаланса, оқушылар дәлелдеудің дедуктивтік тәсілін қолданады.