Қайталау сұрақтары: 1. Материалдық нүкте қозғалысының орташа және лездік жылдамдықтары деп нені түсінесіңдер? Лездік жылдамдық қалай анықталады?
2.y=f(x)функциясы графигіне жүргізілген жанама деп нені түсінесіңдер? Жанаманың бұрыштық коэффициенті қалай анықталады?
3. Функцияның нүктедегі туындысы ұғымына анықтама беріңдер. Туындыны қалай белгілейді? Туындының механикалық және геометриялық мағыналары қандай?
ФУНКЦИЯНЫ ТУЫНДЫ КӨМЕГІМЕН ЗЕРТТЕУ. Мақсаты: Функцияны туынды көмегімен зерттеу алгоритімін қолдану арқылы мысалдар қарастырып, есептер шығару дағдысын қалыптастыру.
Жоспар: 1. Функцияның анықталу облысын табу;
2. Функцияның жұп, тақ және периодты екенін анықтау;
3. Функция графигінің координталар осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтау;
4. Таңба тұрақтылығы аралықтарын табу;
5. Өсу және кему аралықтарын, экстремумдарын табу;
6. Функцияның графигін салу.
Негізгі сөздер:функция, график, өспелі, кемімелі, максимум, минимум, экстремум нүктесі, стационар (кризитік, қауіпті) нүкте, интервал.
Теорема - 1. І. Функцияның өсу және кему аралықтары 1) Функцияның өспелі болуының жеткілікті шарті: Егер (a;b) интервалының әрбір нүктесінде f '(x)>0 теңсіздігі орындалса, онда функция осы аралықта өспелі болады. 2) Функцияның кемімелі болуының жеткілікті шарты: Егер (a;b) интервалының әрбір нүктесінде f '(x)<0 теңсіздігі орындалса, онда функция осы аралықта кемімелі болады. Дәлелдеуі. 1) Айталық, f '(x)>0, x(a; b) теңсіздігі орындалсын. Онда кез келген x 1, x2 (a;b), x 1< x2 нүктелері үшін f(x2)- f(x1) = f '(x0)( x2- x1),
x 1< x0 <x2. Мұнда f '(x)>0, x2- x1>0болғандықтан, f(x2)- f(x1)>0 немесе f(x2)>f(x1) теңсіздігі әрбір x 1, x2 (a;b), x 1< x2 , нүктелері үшін орындалатынын көреміз. Яғни f(x)функциясы (a;b)аралығында өспелі болады.
2) тұжырым да осы сияқты дәлелденеді.
Теоремадағы a және b сандарының орнына сәйкес - және + символдарын алуға болады. Бұл жағдайда да теорема орындалады. Сонымен қатар, жоғары математика курсында f '(x)>0, x2 (a;b) (немесе f '(x)<0) шарты функцияның (a;b) аралығында өспелі және кемімелі болуы үшін қажетті және жеткілікті болатындығы жөніндегі сәйкес тұжырымдар дәлелденеді.
1-мысал. f(x) = 3x – x3 функциясының өспелі және кемімелі болатын аралықтарын анықтау қажет.
Шешуі. Берілген функция (-, +) аралығында анықталған және бұл аралықтың барлық нүктелерінде туындысы бар: f '(x) = 3 – 3x2немесе
f '(x) = -3(х-1)(х+1). Онда f '(x) туындысының таңбасы оң болған аралықтарда функция өспелі, ал теріс болған аралықтарда функция кемімелі болады. Туындының таңбасын бізге белгілі интервалдар әдісімен анықтайық (69-сурет). Сонда (-1;1) аралығында функция өспелі, ал (-, -1)(1; +) аралығында функция кемімелі болады. Оның графигі 70-суретте кесінделген.
ІІ. Функция экстремумдарының қажетті және жеткілікті шарттары.
