«Математиканы оқыту теориясы» пәнінің оқу-әдістемелік материалы
жүктеу/скачать 12,33 Mb.
|
«Математиканы о ыту теориясы» п ніні о у- дістемелік материалы
| ап=а1+d(п-1).
Демек, арифметикалық прогрессияның п-ші мүшесінің формуласы мынаған тең: ап=а1+d(п-1). Бұл формуланың дұрыстығы математикалық индукция әдісімен дәлелденіледі. Арифметикалық прогрессияның п-ші мүшесінің ап=а1+d(п-1) формуласын басқаша ап=dп+(а1-d) түрінде жазуға болады. Бұдан кез келген арифметикалық прогрессияны ап=кп+b (мұндағы к мен b-қандай да бір сандар) түріндегі формуламен беруге болады. Керісінше де тура болады: ап=кп+b түріндегі формуламен берілген (ап) тізбегі арифметикалық прогрессия болып табылады (мұндағы к мен b-қандай да бір сандар). Сондықтан да арифметикалық прогрессияны натурал сандар жиынында анықталған функция деп қарастыруға болады. Арифметикалық прогрессияға ғана тән қасиет былайша дәлелденіледі: Арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша ап+1=ап+d, an-1=an-d бұдан Сонымен, арифметикалық прогрессияның екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі оның екі көршілес тұрған мүшелерінің арифметикалық ортасы болып табылады. Егер арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырымы а1 және d белгілі болса, онда оның қалған мүшелерін ап+1=ап+d рекурренттік формуласы арқылы шығарып алуға болады. Арифметикалық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысы мына формуламен анықталады: (1) Бұл формуланы арифметикалық прогрессияның п-ші мүшесінің формуласы дейді. ап =а1+d(n-1) болатындықтан, (1) формуланы мына түрде жазуға болады: (2) Геометриялық прогрессияны оқыту әдістемесі Анықтама. Екіншісінен бастап әрбір мүшесі өзінің алдындағы көршілес мүшені бірдей санға көбейткенде шыкқан нөлден өзгеше сандардың тізбегі геометриялық прогрессия деп аталады. Басқаша айтқанда, кез келген натурал п үшін және bn+1=bn·q (мұндағы q-қандай да бір сан) шарттары орындалса, (bn) тізбегі геометриялық прогрессия болады. санын геометриялық прогрессияның еселігі деп атайды. Индукция әдісімен геометриялық прогрессияның п-ші мүшесінің мына формуламен анықталатындығы көрсетіледі. b2=b1·q, b3=b2·q=(b1·q)·q=b1·q2, b4=b3·q=(b1·q2)·q=b1·q3, ...... ......... ........... bn=b1·qn-1. Бұл формуланың дұрыстығы математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. |q|> 1 болғанда геометриялық прогрессияны өспелі, ал |q|<1 болғанда геометриялық прогрессияны кемімелі атайды. Геометриялық прогрессияға ғана тән қасиет былайша дәлелденіледі: геометриялық прогрессияның анықтамасы бойынша bn+1=bn·q, , бұдан bn2=bn-1·bn+1,n˃1. Егер геометриялық прогрессияның мүшелері оң болса, онда екінші мүшесінен бастап геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі көршілес екі мүшесінің геометриялық ортасына тең болады. Геометриялық прогрессияны былайша белгілейді: b1, b2,…, bn, …, . (bn) геометриялық прогрессия берілген болсын. Оның алғашқы п мүшесінің қосындысын Sп арқылы өрнектейміз: Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn (1) Бұл теңдіктің екі бөлігін де q-те көбейтеміз: Sn·q=b1·q+b2·q+b3·q+…+bn-1·q+bn·q Егер b1·q=b2 b2·q=b3,…..,bn-1·q=bn екенін ескерсек: Sn·q=b2+b3·q+…+bn+bn·q (2) (2) теңдіктен (1) теңдікті мүшелеп шегеріп, ұқсас мүшелерді біріктірейік: Sn·q- Sn=(b2+b3+…+bn+bn·q)-(b1+b2+b3+…+bn-1+bn)= bn·q-b1 Енді q≠1 дейік. Онда· формуласы келіп шығады. |q|<1 болғанда шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысы былайша анықталады: Прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысының формуласын жазамыз: (4) Егер |q|<1 болса, онда п→ да qn→0, сондықтан п→ да (4) формуланың бірінші қосылғышы п-ге тәуелсіз. Демек, п→ да, -қа ұмтылады. Сонымен, шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы мына формуламен анықталады: (5) Мектеп математикасында функцияның шегін табу мақсат етіп қойылмаған, оны функцияны зерттеу барысында асимптотасын тауып графигін салу үшін қолдану өте ыңғайлы. Себебі функцияның туындысы ұғымын бермей тұрып 9 сыныпта рационал функцияларды зерттеу, олардың графигін салу сияқты тақырыптар қарастырылады. сол себеппен функция шегін аргумент шексіз өсетін не кемитін және функцияның мәні шексіз өсетін не кемитін нүктелердегі шектерді ғана қарастыру жеткілікті деп ойлаймыз. Қалған көптеген жағдайлардың барлығы дерлік жоғары математика курсында егжей-тегжейлі қарастырылады. Біздің мақсатымыз бір жағынан неғұрлым үнемді түрде, екінші жағынан солғұрлым тақырыптың барлық маңызды мазмұнын қамтамасыз ете алатындай жаңа ұғымды ашу және он оқушыға нақты қабылдай алатындай етіп жеткізу, аталған тақырыптың әдістемелік мәселелерін дамыта отырып өңдеп, мұғалімге дәл де, айқын теориялық әдістемелік нұсқауын беру болып табылады. Сонымен орта мектепте оқушылардың жас ерекшеліктері мен математикалық білім деңгейін ескере отырып, шектің қатаң анықтамасын бірден бере салудан бас тартып, алдымен оның жеңілдеу түрі болатын интуитивті-көрнекілік тәсіл арқылы беруді ұсынамыз. Әрине, соңында бәрін қорытындылай келе қазіргі дәуірдегі оқулықтардағыдай оның анықтамасын тұжырымдауға болады. Осы айтылғандарды ескере отырып, мектеп математикасында шектің анықтамасын беру үлгісін төмендегі ретпен берген бәрінен де ыңғайлы болады деген ойдамыз: 1.Тізбектің анықтамасын функцияның дербес жағдайы ретінде тұжырымдау, оның берілу тәсілдеріне нақты мысалдар келтіріп, жан-жақты талдау, нөмірлері өскендегі тізбек мүшелерінің өзгерісін зерттеу; 2.Тізбекті сан өсінде бейнелеп, оның нөмері өскендегі бет алысын (бағытын) көрнекі түрде, ал кесте арқылы оның мәндерінің өзгеруін дәл көрсетіп, қорытынды жасау; 3. Алдыңғы көрнекі-түсіндірмелерден теңсіздіктерге көшу арқылы маңайлар ұғымын енгізу; 4. Маңайлар арқылы тізбектің шегіне ұмтылуының барлық алты жағдайын оқушылардың өздерін тікелей қатыстыру арқылы тұжырымдау; 5. Функцияның шексіздіктегі шегін функцияны зерттеуде, яғни горизонталь асимптотасын табуда қолданысын талдап, мысалдар арқылы көрнекі түрде талқылау; 6. Аргумент белгілі бір шекке ұмтылғанда функцияның шексіздікке ұмтылуын он зерттеуде(вертикаль асимптота табу арқылы) қолдану; 7. Алдыңғы пункттер бойынша оқушылардың аргументтің маңайлары туралы ұғымдарын қалыптастыра отырып, функцияның шексіздіктегі шегінің және нүктенің маңайында функцияның мәндерінің шексіз өсуі мен кемуінің анықтамасын тұжырымдау; 8. Соңында функцияның осы аталған шекке ұмтылу жағдайларының бәрін қолданып, он зерттеп, графигінің эскизін салуға үйрету. Осы аталған үлгі-жоспар бойынша көптеген дидактикалық тапсырмаларды дайындауды оқушылардың тікелей қатысуымен іске асыруға болады және оларды тақырыпты бекіту сабағында қолданып, тапсырмаларды орындау нәтижесін бір-біріне тексерту арқылы бағалауға болады. Бұл бір жағынан материалды бекіту мүмкіндігін мейлінше арттырса, екінші жағынан сыныпта ұжымдық (яғни бір-біріне үйрету әдісі) оқытудың әдістемесін қалыптастырады. Соңында осы үлгімен шек ұғымын берудің әдістемесі Ө.Байқоңыров атындағы Жезқазған университеті жанындағы «Дарын» мектебінің 9-сынып оқушыларына тәжірибе ретінде сыналған,нәтижесінде сынып оқушыларының осы тақырып бойынша үлгерімінің сапа көрсеткіші өте жоғары деңгейде болғанын атап өткіміз келеді. жүктеу/скачать 12,33 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|