«Математиканы оқыту теориясы» пәнінің оқу-әдістемелік материалы
жүктеу/скачать 12,33 Mb.
|
«Математиканы о ыту теориясы» п ніні о у- дістемелік материалы
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема – 3.
- ІІІ. Функцияны зерттеп, оның графигін салудың қарапайым жоспары.
| Теорема - 2. (Экстремумның қажетті шарты). Айталық, y=f(x) функциясы x0 нүктесінің маңында анықталып, осы x0 нүктесі функцияның экстремум нүктесі болсын. Онда f '(x0)=0 немесе функцияның x0 нүктесінде туындысы болмайды.
Дәлелдеуі. Анықтық үшін, x0 функцияның максимум нүктесі болсын делік. Онда анықтама бойынша x0 нүктесінің (x0 – ; x0 + ), ( >0) аймағы табылып, осы аймақта функцияның ең үлкен мәні f(x0) болады. Егер x0 нүктесінде функцияның туындысы бар болса, онда Ферма теоремасы бойынша f (x0)=0. Немесе x0 нүктесінде функцияның туындысы болмайды. Теорема дәлелденді. Жалпы, функцияның туындысы нөлге тең болатын немесе туындысы болмайтын нүктелерін оның стационар (кризистік, қауіпті) нүктелері деп атаймыз. Мысалы, графигі 71-суретте бейнеленген функция үшін x1, x2, x3, x4 – стационар нүктелер. Өйткені x1, x2, x3 сияқты нүктелерде функция туындысы нөлге тең болатынын, ал x4 сияқты нүктелерде функцияның туындысы болмайтынын төмендегі мысалдардан көреміз. 2-мысал. 72-суретте y=|x| функциясының графигі бейнеленген. Бұл функцияның x=0 нүктесінде туындысы болмайтынын жақсы білеміз. Яғни x=0 стационар нүкте. Графиктен функцияның бұл нүктеде өзінің минимумын қабылдайтынын көреміз. 3-мысал. y=x3 функциясының туындысы x=0 нүктесінде нөлге тең. Дегенмен функцияның бұл нүктеде экстремумы жоқ (73-сурет). 4-мысал. y=2х+|x| функиясын қарастырайық (74-сурет). x=0 нүктесі – берілген функция үшін стационар нүкте. Өйткені бұл нүктеде функцияның туындысы болмайды. Суреттен x=0 нүктесінде функцияның экстремумы жоқ екенін көреміз. Сонымен, әрбір стационар нүктеде функцияның экстремумы бола бермейді (3 және 4-мысалдар). Сондықтан берілген қауіпті нүктеде функцияның экстремумы бар немесе жоқ екенін анықтау үшін төмендегі экстремумның жеткілікті шартын беретін теореманы қолданады. Теорема – 3. (Экстремумның І жеткілікті шарты). Егер f(x) функциясы x0 нүктесінде үздіксіз, (a; x0)және (x0; b)аралықтарында функция туындысы f (x)-тің таңбасы әр түрлі болса, онда x0 функцияның экстремум нүктесі болады. Атап айтқанда: а)егер әрбір x (a; x0) үшін f '(x)>0 және әрбір x (x0; b) үшін f '(x)<0 болса, онда x0 - максимум нүктесі; ә)егер әрбір x (a; x0) үшін f '(x)<0 және әрбір x (x0; b) үшін f '(x)>0 болса, онда x0 - минимум нүктесі болады. Дәлелдеуі. Айталық, әрбір x (a; x0) үшін f '(x)>0 әрбір x (x0; b) үшін f '(x)<0 болсын. Онда теорема-1 бойынша функция (a; x0)аралығында өспелі, ал (x0; b) аралығында кемімелі болады. Осыдан анықтама бойынша әрбір x (a; x0) үшін f(x) Сонымен функцияның экстремум нүктелерін анықтауды мынадай ережелермен орындаған жөн: 1) Функцияның стационар (қауіпті) нүктелерін анықтау керек, яғни функция туындысының нөлге тең болатын нүктелері мен туындысы болмайтын нүктелерді табу қажет. 2) Әрбір стационар нүктенің маңында туындының таңбасын зерттеу керек. Егер сол жақтан оңға қарай қауіпті нүкте арқылы өткенде: а) функция туындысының таңбасы «+» -тен «-»-ке өзгерсе, онда бұл стационар нүкте максимум нүктесі болады; ә) функция туындысының таңбасы «-»-тен «+»-ке өзгерсе, онда бұл стационар нүкте минимум нүктесі болады; б) функция туындысының таңбасы өзгермесе, онда бұл стационар нүкте экстремум болмайды. Мысалы, 1-мысалда у=3x-x3 функциясын қарастырдық. Бұл функцияның туындысы y'=3-3x2=3(1-x)(1+x) түрінде жазылады. Онда x1=-1, x2=1 – стационар нүктелер. 69-суретте туындының таңбаларын көрсеткенбіз. Осыдан x1=-1 минимум нүктесі, ал x2=1 максимум нүктесі болады. (70-сурет). Осы 2-мысалда y=|x| функциясы үшін x=0 – қауіпті нүкте. Егер x<0 болса, онда y = -x және y' = -1<0, ал x>0 болса, онда y = x және y'=1>0. Яғни x=0 нүктесінің сол жағында y'<0, ал оң жағында y'>0. Онда x=0 бұл функцияның минимум нүктесі (72-сурет). y=x3 функциясы үшін x=0 – қауіпті нүкте. Ал y'=3x20 болғандықтан, x=0 нүктесінің маңында туындының таңбасы өзгермейді. Онда теорема-2 бойынша x=0 нүктесі бұл функция үшін экстремум нүктесі болмайды (73-сурет). ІІІ. Функцияны зерттеп, оның графигін салудың қарапайым жоспары. Функцияны зерттеуді мынадай жоспар бойынша орындаған тиімді: 1. Функцияның авнықталу облысын табу қажет; 2. Егер бар болсы, функцияның үзіліс нүктелерін анықтап, оның вертикаль асимптоталарын табу керек; 3. Функцияның тақ-жұптығын, периодтылығын анықтау қажет; 4. Функцияның графигінің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін табу керек; 5. Функцияның қауіпті нүктелерін табу керек; 6. Функцияның өсу және кему аралықтары мен экстремумдарын анықтау қажет; 7. Қажет болса, функция графигіне тиісті тағы бірнеше нүктенің координаталарын тауып, анықталған мәліметтерді кестеге толтырған тиімді. Соңында осы мәліметтерге сүйене отырып, функция графигінің жобасын салу керек. жүктеу/скачать 12,33 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|